Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14788
2021-01-10 
Два одинаковых шарика могут двигаться без трения по сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости. Шарики имеют заряды разных знаков и начинают движение из состояния покоя. Показать, что они одновременно окажутся в вершине угла. (Этот результат верен при любом законе силы притяжения между шариками)
Решение:
Уравнения Ньютона для прямолинейных движений шариков следующие (см. рис.):
$m \ddot{x} = -f \cos \alpha, m \ddot{y} = - f \sin \alpha$,
$\cos \alpha = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }, \sin \alpha = \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$.
Умножим первое уравнение на $y$, а второе - на $x$ и вычтем:
$m( \ddot{x}y - \ddot{y}x) = - f \frac{xy}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } + f \frac{yx}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = 0$,
$\frac{d}{dt} ( \dot{x}y - \dot{y}x ) = 0, \dot{x}y - \dot{y}x = const = 0$ (т. к. $\dot{x}(0) = \dot{y}(0) = 0$).
Отсюда
$\frac{ \dot{x} }{x} = \frac{ \dot{y} }{y} \Rightarrow \frac{d}{dt} (lnx - ln y) = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = const$.
Таким образом, $x(t) = y(t) \frac{x_{0} }{y_{0} }$, откуда и следует искомый результат.
Заметим, что этот же результат можно было бы получить, применяя теорему об изменении кинетического момента относительно точки Р - пересечения перпендикуляров к траекториям точек А и В. Центр масс системы и скорость $\vec{V}_{P} \parallel \vec{V}_{C}$ и т.д.
Два одинаковых шарика могут двигаться без трения по сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости. Шарики имеют заряды разных знаков и начинают движение из состояния покоя. Показать, что они одновременно окажутся в вершине угла. (Этот результат верен при любом законе силы притяжения между шариками)
Решение:
Уравнения Ньютона для прямолинейных движений шариков следующие (см. рис.):
$m \ddot{x} = -f \cos \alpha, m \ddot{y} = - f \sin \alpha$,
$\cos \alpha = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }, \sin \alpha = \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$.
Умножим первое уравнение на $y$, а второе - на $x$ и вычтем:
$m( \ddot{x}y - \ddot{y}x) = - f \frac{xy}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } + f \frac{yx}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } = 0$,
$\frac{d}{dt} ( \dot{x}y - \dot{y}x ) = 0, \dot{x}y - \dot{y}x = const = 0$ (т. к. $\dot{x}(0) = \dot{y}(0) = 0$).
Отсюда
$\frac{ \dot{x} }{x} = \frac{ \dot{y} }{y} \Rightarrow \frac{d}{dt} (lnx - ln y) = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = const$.
Таким образом, $x(t) = y(t) \frac{x_{0} }{y_{0} }$, откуда и следует искомый результат.
Заметим, что этот же результат можно было бы получить, применяя теорему об изменении кинетического момента относительно точки Р - пересечения перпендикуляров к траекториям точек А и В. Центр масс системы и скорость $\vec{V}_{P} \parallel \vec{V}_{C}$ и т.д.
