Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14787
2021-01-10 
По сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости, могут скользить без трения шарики А и В масс $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Шарики связаны пружиной жесткости $k$, нейтральная длина которой $l$. В начальный момент шарики находятся в покое и $x_{A}(0) = x_{0}, y_{B}(0) = y_{0}$ (см. рис.).
Показать, что при $\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} < 2l$ шарики никогда не столкнутся, т. е. не придут в точку О одновременно.
Решение:
Обозначим угол $BAO = \alpha$. Тогда уравнения движения шариков:
$m_{1} \ddot{x} = - k( \sqrt{x^{2} + y^{2} } - l ) \cdot \cos \alpha$,
$m_{2} \ddot{y} = - k ( \sqrt{x^{2} + y^{2} } - l ) \cdot \sin \alpha$,
причем $\cos \alpha = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }, \sin \alpha = \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$.
Умножая первое уравнение на $\dot{x}$, второе - на $\dot{y}$ и складывая, получаем интеграл энергии:
$\frac{m_{1} }{2} \dot{x}^{2} + \frac{m_{2} }{2} \dot{y}^{2} = - \frac{k}{2}(x^{2} + y^{2} ) + kl \sqrt{x^{2} + y^{2} } + h$,
где $h = const = \frac{k}{2} ( x_{0}^{2} + y_{0}^{2} ) - kl \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} }$.
Обозначим $x^{2} + y^{2} = \rho^{2}$. Тогда имеем:
$0 \leq \frac{m_{1} }{2} \dot{x}^{2} + \frac{m_{2} }{2} \dot{y}^{2} = - \frac{k}{2} \rho^{2} + kl \rho + \frac{k}{2} \rho_{0}^{2} - kl \rho_{0}$,
причем это неравенство выполнено для любого $t$.
Предположив, что $\rho (t^{*} ) = 0$, получим:
$0 \leq \frac{k}{2} \rho_{0}^{2} - kl \rho_{0} \Rightarrow 2l < \rho_{0}$,
что противоречит условию задачи ($2l > \rho_{0}$).
Описанная система является консервативной, так как сохраняется полная механическая энергия (интеграл энергии). Однако эта система, по-видимому, неинтегрируема в квадратурах, т. е. у нее больше не существует интеграла, независимого от интеграла энергии. Основанием для этого является то, что при $l = 0$ будем иметь уравнения
$m_{1} \ddot{x} = - kx, m_{2} \ddot{y} = -ky$,
которые при несоизмеримых частотах $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1} } }, \omega_{2} = \sqrt{ \frac{k}{m_{2} } }$ не имеют иных интегралов, кроме интеграла энергии.
По сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости, могут скользить без трения шарики А и В масс $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Шарики связаны пружиной жесткости $k$, нейтральная длина которой $l$. В начальный момент шарики находятся в покое и $x_{A}(0) = x_{0}, y_{B}(0) = y_{0}$ (см. рис.).
Показать, что при $\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} < 2l$ шарики никогда не столкнутся, т. е. не придут в точку О одновременно.
Решение:
Обозначим угол $BAO = \alpha$. Тогда уравнения движения шариков:
$m_{1} \ddot{x} = - k( \sqrt{x^{2} + y^{2} } - l ) \cdot \cos \alpha$,
$m_{2} \ddot{y} = - k ( \sqrt{x^{2} + y^{2} } - l ) \cdot \sin \alpha$,
причем $\cos \alpha = \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }, \sin \alpha = \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$.
Умножая первое уравнение на $\dot{x}$, второе - на $\dot{y}$ и складывая, получаем интеграл энергии:
$\frac{m_{1} }{2} \dot{x}^{2} + \frac{m_{2} }{2} \dot{y}^{2} = - \frac{k}{2}(x^{2} + y^{2} ) + kl \sqrt{x^{2} + y^{2} } + h$,
где $h = const = \frac{k}{2} ( x_{0}^{2} + y_{0}^{2} ) - kl \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} }$.
Обозначим $x^{2} + y^{2} = \rho^{2}$. Тогда имеем:
$0 \leq \frac{m_{1} }{2} \dot{x}^{2} + \frac{m_{2} }{2} \dot{y}^{2} = - \frac{k}{2} \rho^{2} + kl \rho + \frac{k}{2} \rho_{0}^{2} - kl \rho_{0}$,
причем это неравенство выполнено для любого $t$.
Предположив, что $\rho (t^{*} ) = 0$, получим:
$0 \leq \frac{k}{2} \rho_{0}^{2} - kl \rho_{0} \Rightarrow 2l < \rho_{0}$,
что противоречит условию задачи ($2l > \rho_{0}$).
Описанная система является консервативной, так как сохраняется полная механическая энергия (интеграл энергии). Однако эта система, по-видимому, неинтегрируема в квадратурах, т. е. у нее больше не существует интеграла, независимого от интеграла энергии. Основанием для этого является то, что при $l = 0$ будем иметь уравнения
$m_{1} \ddot{x} = - kx, m_{2} \ddot{y} = -ky$,
которые при несоизмеримых частотах $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1} } }, \omega_{2} = \sqrt{ \frac{k}{m_{2} } }$ не имеют иных интегралов, кроме интеграла энергии.
