2021-01-10
Однородный шар А радиуса $r$ и массы $m$ катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью центра масс $\vec{v}$ (см. рис.). В момент, когда он касается другого такого же шара В, лежавшего неподвижно, шары жестко скрепляются в точке касания С. Предполагая, что плоскость абсолютно гладкая, определить силы, с которыми шары действуют на плоскость во время дальнейшего совместного движения.
Решение:
Введем поступательно движущуюся систему координат, начало которой разместим в точке касания С. Ось $x$ направим по скорости $\vec{v}$, ось $y$ - перпендикулярно к оси $x$ и лежащей в опорной плоскости, а ось $z$ - перпендикулярно плоскости (на нас, см. рис.).
Так как внешние силы параллельны оси $z$, то сохраняется количество движения по $x$ и по $y$. Отсюда делаем вывод, что скорость точки С после удара $\frac{v}{2}$ равна - и направлена по оси $x$.
Теперь применяем теорему о кинетическом моменте относительно центра масс С. Кинетический момент системы жестко скрепленных шаров складывается: из вращения (верчения) вокруг оси $z$ и качения (т.е. вращения) шаров вокруг оси $O_{1}CO_{2}$. Обозначим угловые скорости этих вращений, соответственно, $\omega_{z}$ и $\omega$. Пусть $\alpha$ - угол, составляемый осью $O_{1}O_{2}$ с осью $y$ (см. рис.). Тогда проекции кинетического момента таковы:
$L_{x} = + 2J \omega \sin \alpha, L_{y} = + 2J \omega \cos \alpha, L_{z} = 2(J + mr^{2}) \omega_{z}$,
где $J$ - момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс. Моменты внешних сил $\vec{f}_{1}$ и $\vec{f}_{2}$, приложенных в точках касания шаров с плоскостью и параллельных оси $z$, относительно точки С:
$M_{x}( \vec{f}_{1} ) + M_{x}( \vec{f}_{2} ) = ( f_{1}r - f_{2}r) \cos \alpha$,
$M_{y} ( \vec{f}_{1} ) + M_{y} ( \vec{f}_{2} ) = - (f_{1}r - f_{2}r ) \sin \alpha$,
$M_{z} \equiv 0$
Тогда имеем уравнения:
$\begin{cases} \dot{L}_{z} = 2J \dot{ \omega} \sin \alpha + 2J \omega \cdot \omega_{z} \cos \alpha = r(f_{1} - f_{2} ) \cos \alpha \\ \dot{L}_{y} = 2J \dot{ \omega } \cos \alpha - 2J \omega \cdot \omega_{z} \sin \alpha = - r(f_{1} - f_{2} ) \sin \alpha, \end{cases}$
$\dot{ \omega }_{z} = 0, \omega_{z} = \omega_{z0} = const$
Здесь использовано, что $\dot{ \alpha } = \omega_{z}$.
Из этих уравнений получим:
$\dot{ \omega } = 0, \omega = \omega_{0} = const, r(f_{1} - f_{2}) = 2J \omega \omega_{z}$.
Осталось применить формулы:
$mvr = 2(J + mr^{2}) \omega_{z0}, \frac{Jv}{r} = 2J \omega_{0}, f_{1} + f_{2} = 2mg$,
получим:
$f_{1} - f_{2} = \frac{1}{r} 2J \left ( \frac{v}{2r} \right ) \left ( \frac{mvr}{2(J + mr^{2} )} \right )$.
Вспоминая, что $J = \frac{2}{5} mr^{2}$, получим:
$f_{1} - f_{2} = \frac{ \frac{4}{5} mr^{2} }{r} \frac{v}{2r} \frac{mvr}{ 2 \frac{7}{5} mr^{2} } = \frac{1}{7} \frac{mv^{2} }{r}$.
Вспоминая, что $f_{1} + f_{2} = 2mg$, получим:
$\begin{cases} 2f_{1} = 2mg + \frac{mv^{2} }{7r}, f_{1} = m \left ( g + \frac{v^{2} }{14r} \right ), \\ 2f_{2} = 2mg - \frac{mv^{2} }{7r}, f_{2} = m \left ( g - \frac{v^{2} }{14r} \right ). \end{cases}$
Естественно, что этот ответ корректен при $g > \frac{v^{2}}{14r}$. Если скорость $v$ будет достаточно велика, то шар В может отскочить от плоскости.
Кроме того, мы предполагали, что отсутствует начальное верчение шара, т. е. его собственная угловая скорость по оси $z$.