2021-01-10
Волчок с неподвижной точкой опоры О, вращавшийся с угловой скоростью $\Omega_{0}$ вокруг своей оси (скорость прецессии $\approx 0$), касается горизонтальной плоскости краем диска (см. рис.).
Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится (в момент касания нутаций также не было).
Решение:
Ясно, что диск будет катиться по плоскости, проскальзывая при этом. Введем систему $Oxyz$, ось $z$ - вертикальна, ось $y$ - по ОК (К - точка касания), ось $x$ - перпендикулярно $z$ и $y$. Пусть $r$ - радиус диска, тогда скорость точки К:
$V_{K} = V_{Kx} = \frac{ \omega r}{ \sin \theta } - \Omega r$.
При $V_{K} = 0$ имеем $\omega = \Omega \sin \theta$ ($\omega (0) = 0$).
В точке касания действуют две силы: $\vec{N}_{z}$ (нормальная реакция) и $\vec{N}_{x}$ (сила трения скольжения, направленная против скорости точки K). Пусть $J_{1}$ - осевой момент инерции волчка, $J_{2}$ - экваториальный относительно точки О. Кинетический момент волчка в главных осях $O \xi \eta \zeta$:
$L_{ \xi} = 0, L_{ \eta } = J_{1} \Omega - J_{1} \omega \sin \theta, L_{ \zeta } = - J_{2} \cos \theta$;
проецируем на оси $x, y, z$:
$L_{x} = 0$,
$L_{y} = L_{ \eta } \cos \theta - L_{ \zeta} \sin \theta = ( J_{1} \Omega - J_{1} \omega \sin \theta) \cos \theta + J_{2} \omega \cos \theta \cdot \sin \theta$,
$L_{z} = L_{ \eta } \sin \theta + L_{ \zeta} \cos \theta = ( J_{1} \Omega - J_{1} \omega \sin \theta ) \sin \theta - J_{2} \omega \cos^{2} \theta$.
Применяем теорему о кинетическом моменте относительно точки О в осях $Oxyz$:
$x: 0 + (+ \omega L_{y} ) = \frac{ N_{z} r}{ \sin \theta } - mg \cdot OC \cdot \cos \theta$,
$y: \dot{L}_{y} + (- \omega L_{z} ) = 0$, т. к. $L_{z} = 0$, то $L_{y} = const = L_{y}(0) = J_{1} \Omega_{0} \cos \theta$;
$z: \dot{L}_{z} + 0 = - \frac{N_{z}r }{ \sin \theta }$.
В этой задаче для нас важна лишь проекция на $y$. Имеем:
$J_{1} \Omega \cdot \cos \theta + \omega (J_{2} - J_{1} ) \cos \theta \cdot \sin \theta = J_{1} \Omega_{0} \cos \theta \Rightarrow J_{1} \Omega + \omega (J_{2} - J_{1} ) \sin \theta = J_{1} \Omega_{0}$.
Подставляем сюда $\omega = \Omega \sin \theta$ при отсутствии скольжения, получим:
$J_{1} \Omega (J_{2} - J_{1}) \Omega \sin^{2} \theta = J_{1} \Omega_{0}, \Omega = \frac{ \Omega_{0}J_{1} }{J_{1} \cos^{2} \theta + J_{2} \sin^{2} \theta }$.
Угловая скорость $\vec{ \omega}_{1}$ волчка направлена по ОК и находится из параллелограмма $\vec{ \omega }_{1} = \vec{ \omega } + \vec{ \Omega }$ (см. рис.):
$\omega_{1} = \Omega \cos \theta = \frac{ \Omega_{0}J_{1} \cos \theta }{J_{1} \cos^{2} \theta + J_{2} \sin^{2} \theta }$.