2021-01-10
На двух нерастяжимых невесомых нитях одинаковой длины горизонтально подвешен в точке $O$ однородный стержень $AB$ массой $m$ и длиной $2l$ (см. рис.). Нити со стержнем образуют угол $\alpha$. В некоторый момент времени нить $OB$ обрывается. Найти силу натяжения $T$ нити $OA$ непосредственно после момента обрыва.
Решение:
Сначала найдем натяжение нити $OA$ до обрыва. Проецируем на вертикаль $z$:
$mg - 2T_{0} \sin \alpha = 0 \Rightarrow T_{0} = \frac{mg}{ 2 \sin \alpha }$.
Послеобрывное состояние стержня характеризуется тем, что его угловая скорость $\omega = 0$, а угловое ускорение $\epsilon \neq 0$! Скорость точки $A$: $V_{A} = 0$, а ее ускорение $\vec{a}$ не будет равно нулю и направлено $\perp OA$ (т. к. ее нормальное ускорение $\frac{V_{A}^{2} }{OA} = 0$). Принимая эти допущения, получим:
$\vec{a}_{C} = \vec{a} + \vec{a}_{CA}^{n} + \vec{a}_{CA}^{r}$,
причем $a_{CA}^{n} = \omega_{AB}^{2} \cdot l = 0$ (так как $\omega_{AB} = 0$), $\vec{a}_{CA}^{r} \perp AC$ и ($a_{CA}^{r} = \epsilon \cdot l$. Уравнения движения для центра масс, спроецированные на $AO$ и перпендикулярно $AO$ суть:
$m \epsilon l \sin \alpha = mg \sin \alpha - T$, (1)
$m(a + \epsilon l \cos \alpha ) = mg \cos \alpha$. (2)
И еще уравнение моментов относительно центра масс:
$\left ( \frac{ml^{2} }{3} \right ) \epsilon = Tl \sin \alpha$. (3)
Получим три уравнения для трех неизвестных: $T, \epsilon, a$. Из (1) и (3), исключая $\epsilon$, сразу находим:
$0 = \frac{1}{3} mg \sin \alpha - \frac{T}{3} - T \sin \alpha \cdot \sin \alpha \Rightarrow T = \frac{mg \sin \alpha }{1 + 3 \sin^{2} \alpha }$,
$\epsilon = \frac{3}{ml} \frac{mg \sin^{2} \alpha }{1 + 3 \sin^{2} \alpha } = \frac{3 \sin^{2} \alpha }{1 + 3 \sin^{2} \alpha } \frac{q}{l}$, (4)
$a = g \cos \alpha - g \cos \alpha \frac{3 \sin^{2} \alpha }{1 + 3 \sin^{2} \alpha } = \frac{g \cos \alpha }{1 + 3 \sin^{2} \alpha }$;
Обратим внимание на одно обстоятельство: при $\alpha \rightarrow 0, T( \alpha ) \rightarrow 0$. А в то же самое время до обрыва: $T( \alpha ) \rightarrow \infty$ при $\alpha \rightarrow 0$. Получается, что при малых $\alpha$ натяжение меняет свое значение мгновенно от бесконечно большого до бесконечно малого.
$T - T_{0} = - mg \frac{1 + \sin^{2} \alpha }{2 \sin \alpha ( 1 + 3 \sin^{2} \alpha ) } \rightarrow - \infty$
при $\alpha \rightarrow 0$ (см. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела, М.: Наука, 1985, с. 238).