Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14783
2021-01-10 
Муха заметила на столе каплю меда, пролетая точно над ней горизонтально со скоростью $\vec{v}_{0}$ на высоте $H$. Считая, что муха может развивать ускорение $\vec{a}$ в любом направлении, причем $| \vec{a} | \leq a_{0}$, определить, как надо двигаться мухе, чтобы как можно быстрее добраться до меда? Сколько времени на это понадобится?
Решение:
Переходим в инерциальную систему координат, движущуюся со скоростью $\vec{v}_{0}$. Тогда в этой системе муха будет в покое в начальный момент, а капля будет двигаться со скоростью $- \vec{v}_{0}$ вдоль оси $Ox$ (см. рис.).
Уравнения движения точки $A$ (мухи) суть:
$\ddot{x} = a \sin \alpha; \ddot{y} = - a \cos \alpha$ (см. рис.).
Можно показать, что множество достигаемых мухой к моменту $t$ точек $(x, y)$ плоскости при $|a| \leq a_{0}, \alpha \in [0,2 \pi ], \dot{x}(0) = \dot{y}(0) = 0$, есть круг с центром в точке $A$ (при $t = 0$) и радиусом
$R(t) = \frac{a_{0}t^{2}}{2}$.
Ясно, что оптимальное время $t$ будет такое, когда точка В, имеющая координату $x_{B}(t) = V_{0}t$ первый раз коснется указанного круга. Именно на эту точку и нужно прицеливаться мухе своим вектором ускорения $\vec{a}_{0}$. А оптимальное $t$ найдется из треугольника $A_{0}B_{0}B$:
$H^{2} + v_{0}^{2}t^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}, t = \frac{v_{0} }{a_{0} } \sqrt{ 2 \left [ 1 + \sqrt{1 + \left ( \frac{a_{0}H }{V_{0}^{2} } \right )^{2} } \right ] }$.
Замечание. Задача существенно усложняется, если дополнительно потребовать «мягкой» посадки мухи на мед, т. е. чтобы ее скорость в момент достижения меда совпадала со скоростью меда (иначе ей будет сложно его съесть!). В данном случае
$\dot{x} = v_{0}, \dot{y}(t) = 0$,
$x(t) = v_{0}t, y(t) = 0$.
Можно показать, используя принцип максимума Понтрягина, что в этом случае оптимальное управление $\alpha$ нужно выбирать по закону:
$tg \alpha = \frac{-C_{1}t + C_{2} }{-C_{3}t + C_{4} }$,
где $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ - константы. Это - закон дробно-линейного тангенса.
Муха заметила на столе каплю меда, пролетая точно над ней горизонтально со скоростью $\vec{v}_{0}$ на высоте $H$. Считая, что муха может развивать ускорение $\vec{a}$ в любом направлении, причем $| \vec{a} | \leq a_{0}$, определить, как надо двигаться мухе, чтобы как можно быстрее добраться до меда? Сколько времени на это понадобится?
Решение:
Переходим в инерциальную систему координат, движущуюся со скоростью $\vec{v}_{0}$. Тогда в этой системе муха будет в покое в начальный момент, а капля будет двигаться со скоростью $- \vec{v}_{0}$ вдоль оси $Ox$ (см. рис.).
Уравнения движения точки $A$ (мухи) суть:
$\ddot{x} = a \sin \alpha; \ddot{y} = - a \cos \alpha$ (см. рис.).
Можно показать, что множество достигаемых мухой к моменту $t$ точек $(x, y)$ плоскости при $|a| \leq a_{0}, \alpha \in [0,2 \pi ], \dot{x}(0) = \dot{y}(0) = 0$, есть круг с центром в точке $A$ (при $t = 0$) и радиусом
$R(t) = \frac{a_{0}t^{2}}{2}$.
Ясно, что оптимальное время $t$ будет такое, когда точка В, имеющая координату $x_{B}(t) = V_{0}t$ первый раз коснется указанного круга. Именно на эту точку и нужно прицеливаться мухе своим вектором ускорения $\vec{a}_{0}$. А оптимальное $t$ найдется из треугольника $A_{0}B_{0}B$:
$H^{2} + v_{0}^{2}t^{2} = \left ( \frac{at^{2} }{2} \right )^{2}, t = \frac{v_{0} }{a_{0} } \sqrt{ 2 \left [ 1 + \sqrt{1 + \left ( \frac{a_{0}H }{V_{0}^{2} } \right )^{2} } \right ] }$.
Замечание. Задача существенно усложняется, если дополнительно потребовать «мягкой» посадки мухи на мед, т. е. чтобы ее скорость в момент достижения меда совпадала со скоростью меда (иначе ей будет сложно его съесть!). В данном случае
$\dot{x} = v_{0}, \dot{y}(t) = 0$,
$x(t) = v_{0}t, y(t) = 0$.
Можно показать, используя принцип максимума Понтрягина, что в этом случае оптимальное управление $\alpha$ нужно выбирать по закону:
$tg \alpha = \frac{-C_{1}t + C_{2} }{-C_{3}t + C_{4} }$,
где $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ - константы. Это - закон дробно-линейного тангенса.
