ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-10   
За лисой, бегущей равномерно и прямолинейно со скоростью $v$, гонится собака, скорость которой $\vec{u}$ постоянна по модулю и все время направлена на лису. Когда скорости лисы и собаки оказались взаимно перпендикулярными, расстояние между ними было равно $L$. Определить ускорение собаки в этот момент времени.


Решение:



$O$ - лиса, $A$ - собака, $\vec{OA} = \rho$ - радиус-вектор собаки в системе координат $Oxy$, связанной с лисой и поступательно с ней перемещающейся, $\beta$ - полярный угол (см. рис.). Имеем:

$v_{Az} = v - u \cos \beta; v_{Ay} = - u \sin \beta$;
$a_{Az} = \dot{v}_{Ax} = u \sin \beta \cdot \dot{ \beta }; a_{Ay} = - u \cos \beta \cdot \dot{ \beta }$;
$| a_{0} | = \sqrt{ a_{Ax}^{2} + a_{Ay}^{2} } = u | \dot{ \beta } |$.

Кроме того,

$x_{A} = \rho \cos \beta; y_{A} = \rho \sin \beta$;
$v_{Az} = \dot{x}_{A} = \dot{ \rho} \cos \beta - \rho \dot{ \beta } \sin \beta$;
$v_{Ay} = \dot{y}_{A} = \dot{ \rho } \sin \beta - \rho \dot{ \beta } \cos \beta$;

Используя вышеприведенные равенства, получим:

$\begin{cases} v - u \cos \beta = \dot{ \rho } \cos \beta - \rho \dot{ \beta } \sin \beta \\ - u \sin \beta = \dot{ \rho} \sin \beta + \rho \dot{ \beta } \cos \beta \end{cases} \: \left | \begin{matrix} \underset{+}{- \sin \beta} \\ \cos \beta \end{matrix} \right .$
$-v \sin \beta = \rho \dot{ \beta }, \dot{ \beta } = - \frac{v}{ \rho } \sin \beta$.

Таким образом, ускорение точки $A$ будет:

$| a_{A} | = u | \dot{ \beta } | = \frac{uv}{ \rho } \sin \beta$.

В частности, при $\beta = \frac{ \pi }{2}$ (по условию задачи) имеем

$|a_{A} | = \frac{uv}{L}$.