Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14781
2021-01-10 
Диск радиуса $R$ катится по прямой без проскальзывания (см. рис.). Найти геометрическое место точек диска (в фиксированный момент времени), для которых нормальное ускорение равно нулю.
Решение:
Пусть $M(x, y)$ - произвольная точка диска в системе координат $Pxy$ ($P$ - точка касания, М. Ц. С. диска при его качении).
Имеем:
$\vec{a}_{M} = \vec{a}_{O} + \vec{a}_{MO}^{n} + \vec{a}_{MO}^{ r }$, (1)
$\vec{a}_{MO}^{n}$ - направлено от $M$ к $O$, $\vec{a}_{MO}^{ r } \perp \vec{MO}$. Вектор скорости точки $M \perp \vec{PM}$.
Проецируем обе части равенства (1) на направление вектора $\vec{PM}$:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = a_{O} \cos \left [ \frac{ \pi}{2} - ( \pi - \beta - \alpha ) \right ] - a_{MO}^{n} \cos \alpha - a_{MO}^{ r} \sin \alpha$
или так:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = a_{O} \sin ( \beta + \alpha ) - a_{MO}^{n} \cos \alpha - a_{MO}^{ r } \sin \alpha$. (2)
Далее имеем $a_{O} = r \epsilon, a_{MO}^{r} = | \vec{MO} | \cdot \epsilon$.
Но из $\Delta OMP$ и теоремы синусов имеем:
$\frac{| \vec{MO} |}{ \sin ( \beta + \alpha ) } = \frac{r}{ \sin \alpha }, | \vec{MO} | = r \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \sin \alpha }$.
Тогда:
$a_{O} = r \epsilon, a_{MO}^{r} = | \vec{MO} | \cdot \epsilon = r \frac{ \sin ( \beta + \alpha ) }{ \sin \alpha } \epsilon$.
Подставляем полученные равенства в (2), получим:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = \epsilon r \cdot \sin ( \beta + \alpha ) - a_{MO}^{n} \cos \alpha - \epsilon r \sin ( \beta + \alpha ) = - a_{MO}^{n} \cos \alpha$.
Так как $a_{MO}^{n} = \omega^{2} \cdot | \vec{MO} | \neq 0$ (при качении!), то для соблюдения равенства $np_{ \vec{PM} } \vec{a}_{M} = 0$ (т. е. равенства нулю нормального ускорения точки $M$) необходимо, чтобы $\cos \alpha = 0$, т. е. $\alpha = \frac{ \pi }{2}$ или $\alpha = \frac{3 \pi }{2}$. Таким образом, угол $OMP$ всегда для таких точек прямой!
А это означает, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OP$, т.е. радиуса $\frac{r}{2}$.
Эта задача - упрощение соответствующей задачи из кинематики плоского движения твердого тела (точка $P$ - мгновенный центр вращения, точка $O$ - центр поворотов, а полученная окружность - окружность перегибов.
Диск радиуса $R$ катится по прямой без проскальзывания (см. рис.). Найти геометрическое место точек диска (в фиксированный момент времени), для которых нормальное ускорение равно нулю.
Решение:
Пусть $M(x, y)$ - произвольная точка диска в системе координат $Pxy$ ($P$ - точка касания, М. Ц. С. диска при его качении).
Имеем:
$\vec{a}_{M} = \vec{a}_{O} + \vec{a}_{MO}^{n} + \vec{a}_{MO}^{ r }$, (1)
$\vec{a}_{MO}^{n}$ - направлено от $M$ к $O$, $\vec{a}_{MO}^{ r } \perp \vec{MO}$. Вектор скорости точки $M \perp \vec{PM}$.
Проецируем обе части равенства (1) на направление вектора $\vec{PM}$:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = a_{O} \cos \left [ \frac{ \pi}{2} - ( \pi - \beta - \alpha ) \right ] - a_{MO}^{n} \cos \alpha - a_{MO}^{ r} \sin \alpha$
или так:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = a_{O} \sin ( \beta + \alpha ) - a_{MO}^{n} \cos \alpha - a_{MO}^{ r } \sin \alpha$. (2)
Далее имеем $a_{O} = r \epsilon, a_{MO}^{r} = | \vec{MO} | \cdot \epsilon$.
Но из $\Delta OMP$ и теоремы синусов имеем:
$\frac{| \vec{MO} |}{ \sin ( \beta + \alpha ) } = \frac{r}{ \sin \alpha }, | \vec{MO} | = r \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \sin \alpha }$.
Тогда:
$a_{O} = r \epsilon, a_{MO}^{r} = | \vec{MO} | \cdot \epsilon = r \frac{ \sin ( \beta + \alpha ) }{ \sin \alpha } \epsilon$.
Подставляем полученные равенства в (2), получим:
$np_{PM} \vec{a}_{M} = \epsilon r \cdot \sin ( \beta + \alpha ) - a_{MO}^{n} \cos \alpha - \epsilon r \sin ( \beta + \alpha ) = - a_{MO}^{n} \cos \alpha$.
Так как $a_{MO}^{n} = \omega^{2} \cdot | \vec{MO} | \neq 0$ (при качении!), то для соблюдения равенства $np_{ \vec{PM} } \vec{a}_{M} = 0$ (т. е. равенства нулю нормального ускорения точки $M$) необходимо, чтобы $\cos \alpha = 0$, т. е. $\alpha = \frac{ \pi }{2}$ или $\alpha = \frac{3 \pi }{2}$. Таким образом, угол $OMP$ всегда для таких точек прямой!
А это означает, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OP$, т.е. радиуса $\frac{r}{2}$.
Эта задача - упрощение соответствующей задачи из кинематики плоского движения твердого тела (точка $P$ - мгновенный центр вращения, точка $O$ - центр поворотов, а полученная окружность - окружность перегибов.
