Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14779
2021-01-10 
Лодку М, уносимую течением реки, подтягивают веревкой к точке А берега (см. рис.).
Найти траекторию лодки, принимая последнюю за точку и считая:
1) скорость $\vec{C}_{1}$ течения реки постоянна по всей ее ширине;
2) скорость наматывания веревки постоянна и равна $C_{2}$;
3) относительная (относительно системы координат, связанной с водой, а не с землей) скорость лодки направлена вдоль веревки.
Решение:
Пусть $\vec{V}_{r}$ - относительная скорость лодки, $\vec{V}_{e} = \vec{C}_{1}$ - переносная ее скорость.
В полярных координатах $\rho, \phi$ имеем:
$\dot{ \rho} = - V_{r} + C_{1} \cos \phi, \rho \dot{ \phi } = - C_{1} \sin \phi$.
По смыслу задачи: $\dot{ \rho } = - C_{2} \Rightarrow \rho(t) = - C_{2}t + \rho_{0}$.
Далее:
$\frac{d \phi }{ \sin \phi } = - C_{1} \frac{dt}{-C_{2}t + \rho_{0} }$,
$\frac{1}{2} \left [ \frac{ \frac{1 - \cos \phi }{1 + \cos \phi } }{ \frac{1 - \cos \phi_{0} }{1 + \cos \phi_{0} } } \right ] = \frac{C_{1} }{C_{2} } ln \frac{-C_{2}t + \rho_{0} }{ \rho_{0} } = \frac{C_{2} }{C_{2} } ln \frac{ \rho }{ \rho_{0} }$,
$tg \frac{ \phi }{2} \cdot ctg \frac{ \phi_{0} }{2} = \left ( \frac{ \rho }{ \rho_{0} } \right )^{ \frac{C_{1} }{C_{2} } }$.
Лодку М, уносимую течением реки, подтягивают веревкой к точке А берега (см. рис.).
Найти траекторию лодки, принимая последнюю за точку и считая:
1) скорость $\vec{C}_{1}$ течения реки постоянна по всей ее ширине;
2) скорость наматывания веревки постоянна и равна $C_{2}$;
3) относительная (относительно системы координат, связанной с водой, а не с землей) скорость лодки направлена вдоль веревки.
Решение:
Пусть $\vec{V}_{r}$ - относительная скорость лодки, $\vec{V}_{e} = \vec{C}_{1}$ - переносная ее скорость.
В полярных координатах $\rho, \phi$ имеем:
$\dot{ \rho} = - V_{r} + C_{1} \cos \phi, \rho \dot{ \phi } = - C_{1} \sin \phi$.
По смыслу задачи: $\dot{ \rho } = - C_{2} \Rightarrow \rho(t) = - C_{2}t + \rho_{0}$.
Далее:
$\frac{d \phi }{ \sin \phi } = - C_{1} \frac{dt}{-C_{2}t + \rho_{0} }$,
$\frac{1}{2} \left [ \frac{ \frac{1 - \cos \phi }{1 + \cos \phi } }{ \frac{1 - \cos \phi_{0} }{1 + \cos \phi_{0} } } \right ] = \frac{C_{1} }{C_{2} } ln \frac{-C_{2}t + \rho_{0} }{ \rho_{0} } = \frac{C_{2} }{C_{2} } ln \frac{ \rho }{ \rho_{0} }$,
$tg \frac{ \phi }{2} \cdot ctg \frac{ \phi_{0} }{2} = \left ( \frac{ \rho }{ \rho_{0} } \right )^{ \frac{C_{1} }{C_{2} } }$.
