Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14778
2021-01-10 
Две точки в плоскости двигаются по двум параллельным прямым с постоянными скоростями - одна со скоростью $\vec{u}$, другая - со скоростью $\vec{v}$, причем $\vec{u} \neq \vec{v}$. Показать, что прямая, проходящая через эти две точки, все время проходит через фиксированную точку.
Решение:
I. Кинематическое решение.
Пусть прямая $CD$ (см. рис.) - это твердое тело. Рассмотрим движение точки $A$ как сложное, т.е. $\vec{u} = \vec{v}_{r}^{(A)} + \vec{v}_{e}^{(A)}$. Ясно, что $\vec{v}_{r}^{(A)}$ направлено вдоль прямой, причем $\vec{v}_{r}^{(A)} = u \cos \alpha$. Тогда $\vec{v}_{e}^{(A)} = u \sin \alpha$. Аналогично, $\vec{v}_{e}^{(B)} = v \sin \alpha$. Пусть для определенности $\vec{u}$ и $\vec{v}$ одинаково направлены и $v > u$. Возьмем на прямой $CD$ точку $P$ так, что $PA = S$, причем
$\frac{u \sin \alpha }{S} = \frac{v \sin \alpha }{S + AB}$,
так как $AB = \frac{h}{ \sin \alpha }$, то находим
$Su + \frac{hu}{ \sin \alpha } = Sv; S = \frac{hu}{ \sin \alpha (v - u)}$.
Имеем:
$y_{P} = - S \cdot \sin \alpha = - \frac{hu}{v - u} = const$;
$x_{P} = x_{A} - S \cdot \cos \alpha = x_{A}(0) + ut - \frac{hu ctg \alpha}{v - u}$.
Но кроме того, учтем соотношение между $x$-координатами точек $A$ и $B$:
$x_{B}(t)) - x_{A}(t) = (v - u)t + x_{B}(0) - x_{A}(0) = h ctg \alpha$.
Тогда получим:
$x_{P} = x_{A}(0) + ut - \frac{hu}{v - u} \frac{(v-u)t + x_{B}(0) - x_{A}(0)}{h} = x_{A}(0) + ut - ut - \frac{u}{v - u} [x_{B}(0) - x_{A}(0) ] = const$.
II. Геометрическое решение.
Опустим из $P$ и $B$ перпендикуляры на ось $x$: $BH_{1}$ и $PH_{2}$. Из подобия треугольников $AH_{2}P$ и $ABH_{1}$ находим:
$\frac{| y_{P} |}{x_{A} - x_{P} } = \frac{h}{x_{B} - x_{A} }$,
$-y_{P}x_{B} + y_{P}x_{A} = hx_{A} - hx_{P}$.
Дифференцируем это равенство по $t$:
$- \dot{y}_{P}x_{B} - y_{P}v + \dot{y}_{P}x_{A} + y_{P}u = hu - h \dot{x}_{P}$.
Подчиним $y_{P}$ условию:
$-y_{P}v + y_{P}u = hu, y_{P} = - \frac{hu}{v - u}, \dot{y}_{P} = 0$,
тогда
$0 = -h \dot{x}_{P}, \dot{x}_{P} = 0, x_{P} = const$
и т.д.
Две точки в плоскости двигаются по двум параллельным прямым с постоянными скоростями - одна со скоростью $\vec{u}$, другая - со скоростью $\vec{v}$, причем $\vec{u} \neq \vec{v}$. Показать, что прямая, проходящая через эти две точки, все время проходит через фиксированную точку.
Решение:
I. Кинематическое решение.
Пусть прямая $CD$ (см. рис.) - это твердое тело. Рассмотрим движение точки $A$ как сложное, т.е. $\vec{u} = \vec{v}_{r}^{(A)} + \vec{v}_{e}^{(A)}$. Ясно, что $\vec{v}_{r}^{(A)}$ направлено вдоль прямой, причем $\vec{v}_{r}^{(A)} = u \cos \alpha$. Тогда $\vec{v}_{e}^{(A)} = u \sin \alpha$. Аналогично, $\vec{v}_{e}^{(B)} = v \sin \alpha$. Пусть для определенности $\vec{u}$ и $\vec{v}$ одинаково направлены и $v > u$. Возьмем на прямой $CD$ точку $P$ так, что $PA = S$, причем
$\frac{u \sin \alpha }{S} = \frac{v \sin \alpha }{S + AB}$,
так как $AB = \frac{h}{ \sin \alpha }$, то находим
$Su + \frac{hu}{ \sin \alpha } = Sv; S = \frac{hu}{ \sin \alpha (v - u)}$.
Имеем:
$y_{P} = - S \cdot \sin \alpha = - \frac{hu}{v - u} = const$;
$x_{P} = x_{A} - S \cdot \cos \alpha = x_{A}(0) + ut - \frac{hu ctg \alpha}{v - u}$.
Но кроме того, учтем соотношение между $x$-координатами точек $A$ и $B$:
$x_{B}(t)) - x_{A}(t) = (v - u)t + x_{B}(0) - x_{A}(0) = h ctg \alpha$.
Тогда получим:
$x_{P} = x_{A}(0) + ut - \frac{hu}{v - u} \frac{(v-u)t + x_{B}(0) - x_{A}(0)}{h} = x_{A}(0) + ut - ut - \frac{u}{v - u} [x_{B}(0) - x_{A}(0) ] = const$.
II. Геометрическое решение.
Опустим из $P$ и $B$ перпендикуляры на ось $x$: $BH_{1}$ и $PH_{2}$. Из подобия треугольников $AH_{2}P$ и $ABH_{1}$ находим:
$\frac{| y_{P} |}{x_{A} - x_{P} } = \frac{h}{x_{B} - x_{A} }$,
$-y_{P}x_{B} + y_{P}x_{A} = hx_{A} - hx_{P}$.
Дифференцируем это равенство по $t$:
$- \dot{y}_{P}x_{B} - y_{P}v + \dot{y}_{P}x_{A} + y_{P}u = hu - h \dot{x}_{P}$.
Подчиним $y_{P}$ условию:
$-y_{P}v + y_{P}u = hu, y_{P} = - \frac{hu}{v - u}, \dot{y}_{P} = 0$,
тогда
$0 = -h \dot{x}_{P}, \dot{x}_{P} = 0, x_{P} = const$
и т.д.
