Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14776
2021-01-10 
Два вала (см. рис.) соединены шарниром Кардана-Гука. Найти закон изменения коэффициента передачи $k = \frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} }$, если угол между валами равен $\alpha$, а оси валов лежат в одной плоскости.
Решение:
Без ограничения общности будем предполагать, что в начальный момент времени ось крестовины, жестко связанная с валом 1, перпендикулярна плоскости валов. Ее единичный орт $\vec{k}_{1} (0)$ (см. рис.). Тогда ось крестовины, жестко связанная с валом 2, будет принадлежать плоскости валов. Ее единичный орт $\vec{k}_{2}(0)$ (см. рис.). Введем еще единичный орт $\vec{k}_{3}$, который лежит в плоскости валов и перпендикулярен валу 1 (см. рис.). В силу построения угол между ортами $\vec{k}_{2}(0)$ и $k_{3}$ равен $\pi - \alpha$, т. е.
$( \vec{k}_{2}(0) \cdot \vec{k}_{3}) = - \cos \alpha$.
Кроме того,
$( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{2} (0)) = 0, ( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{3} ) = 0$ (в силу построения).
Пусть вал 1 повернулся на угол $\phi_{1}$, а вал 2 при этом - на угол $\phi_{2}$. Тогда единичный орт $\vec{k}_{1}$ нового положения крестовины, связанной с валом 1, будет иметь разложение:
$\vec{k}_{1} = \vec{k}_{1}(0) \cos \phi_{1} + \vec{k}_{3} \sin \phi_{1}$. (1)
А единичный орт $\vec{k}_{2}$ нового положения крестовины, связанной с валом 2, будет иметь разложение:
$\vec{k}_{2} = \vec{k}_{2}( 0) \cos \phi_{2} + \vec{k}_{1} (0) \sin \phi_{2}$. (2)
Но так как орты крестовин всегда перпендикулярны, то
$( \vec{k}_{1} \cdot \vec{k}_{2} ) = 0$.
Перемножая (1) и (2), получим:
$0 = ( \vec{k}_{1} \cdot \vec{k}_{2} ) = ( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{2}(0) ) \cos \phi_{1} \cos \phi_{2} + \cos \phi_{1} \sin \phi_{2} + ( \vec{k}_{3} \cdot \vec{k}_{2} (0) ) \sin \phi_{1} \cos \phi_{2} + (\vec{k}_{3} \cdot \vec{k}_{1}(0)) \sin \phi_{1} \sin \phi_{2} = \cos \phi_{1} \sin \phi_{2} - \cos \alpha \cdot \sin \phi_{1} \cos \phi_{2}$.
Отсюда получаем кинематическую связь:
$tg \phi_{1} \cdot \cos \alpha = tg \phi_{2}, \phi_{2} = arctg ( \cos \alpha \cdot tg \phi_{1} )$,
$\omega_{2} = \dot{ \phi }_{2} = \frac{1}{1 + \cos^{2} \alpha \cdot tg^{2} \phi_{1} } \cos \alpha \frac{1}{ \cos^{2} \phi_{1} } \dot{ \phi }_{1}$,
$k = \frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} } = \frac{ \cos \alpha }{ \cos^{2} \phi_{1} + \cos^{2} \alpha \cdot \sin^{2} \phi_{1} } = \frac{ \cos \alpha }{1 - \sin^{2} \phi_{1} \cdot \sin^{2} \alpha }$,
$\phi_{1} = \int_{0}^{t} \omega_{1} dt + \phi_{1} (0)$
Два вала (см. рис.) соединены шарниром Кардана-Гука. Найти закон изменения коэффициента передачи $k = \frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} }$, если угол между валами равен $\alpha$, а оси валов лежат в одной плоскости.
Решение:
Без ограничения общности будем предполагать, что в начальный момент времени ось крестовины, жестко связанная с валом 1, перпендикулярна плоскости валов. Ее единичный орт $\vec{k}_{1} (0)$ (см. рис.). Тогда ось крестовины, жестко связанная с валом 2, будет принадлежать плоскости валов. Ее единичный орт $\vec{k}_{2}(0)$ (см. рис.). Введем еще единичный орт $\vec{k}_{3}$, который лежит в плоскости валов и перпендикулярен валу 1 (см. рис.). В силу построения угол между ортами $\vec{k}_{2}(0)$ и $k_{3}$ равен $\pi - \alpha$, т. е.
$( \vec{k}_{2}(0) \cdot \vec{k}_{3}) = - \cos \alpha$.
Кроме того,
$( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{2} (0)) = 0, ( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{3} ) = 0$ (в силу построения).
Пусть вал 1 повернулся на угол $\phi_{1}$, а вал 2 при этом - на угол $\phi_{2}$. Тогда единичный орт $\vec{k}_{1}$ нового положения крестовины, связанной с валом 1, будет иметь разложение:
$\vec{k}_{1} = \vec{k}_{1}(0) \cos \phi_{1} + \vec{k}_{3} \sin \phi_{1}$. (1)
А единичный орт $\vec{k}_{2}$ нового положения крестовины, связанной с валом 2, будет иметь разложение:
$\vec{k}_{2} = \vec{k}_{2}( 0) \cos \phi_{2} + \vec{k}_{1} (0) \sin \phi_{2}$. (2)
Но так как орты крестовин всегда перпендикулярны, то
$( \vec{k}_{1} \cdot \vec{k}_{2} ) = 0$.
Перемножая (1) и (2), получим:
$0 = ( \vec{k}_{1} \cdot \vec{k}_{2} ) = ( \vec{k}_{1}(0) \cdot \vec{k}_{2}(0) ) \cos \phi_{1} \cos \phi_{2} + \cos \phi_{1} \sin \phi_{2} + ( \vec{k}_{3} \cdot \vec{k}_{2} (0) ) \sin \phi_{1} \cos \phi_{2} + (\vec{k}_{3} \cdot \vec{k}_{1}(0)) \sin \phi_{1} \sin \phi_{2} = \cos \phi_{1} \sin \phi_{2} - \cos \alpha \cdot \sin \phi_{1} \cos \phi_{2}$.
Отсюда получаем кинематическую связь:
$tg \phi_{1} \cdot \cos \alpha = tg \phi_{2}, \phi_{2} = arctg ( \cos \alpha \cdot tg \phi_{1} )$,
$\omega_{2} = \dot{ \phi }_{2} = \frac{1}{1 + \cos^{2} \alpha \cdot tg^{2} \phi_{1} } \cos \alpha \frac{1}{ \cos^{2} \phi_{1} } \dot{ \phi }_{1}$,
$k = \frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} } = \frac{ \cos \alpha }{ \cos^{2} \phi_{1} + \cos^{2} \alpha \cdot \sin^{2} \phi_{1} } = \frac{ \cos \alpha }{1 - \sin^{2} \phi_{1} \cdot \sin^{2} \alpha }$,
$\phi_{1} = \int_{0}^{t} \omega_{1} dt + \phi_{1} (0)$
