Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14775
2021-01-10 
Схват С (см. рис.) плоского двухзвенного автоматического манипулятора движется с постоянной скоростью $\vec{v}$ вдоль прямой $OO_{1}$, образующей с осью $Ax_{2}$ угол $\alpha$. Найти угловые скорости звеньев $AB$ и $BC$ в зависимости от конфигурации манипулятора, т. е. от углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, если $AB = l_{1}, BC = l_{2}$.
Решение:
Скорость точки $B$ $\vec{v}_{B} \perp \vec{AB}, v_{B} = \omega_{AB} l_{1}$, проекции скоростей точек $B$ и $C$ на $BC$ должны быть равны:
$v \cos \delta = v_{B} \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \phi_{2} \right ), v_{B} = v \frac{ \cos \delta }{ \sin \phi_{2} }$,
причем нетрудно подсчитать, что $\delta = \alpha - \gamma$, где $\gamma = \frac{ \pi }{2} - ( \phi_{1} + \phi_{2} )$. Таким образом:
$\omega_{AB} = \frac{v}{l_{1} } \frac{ | \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} ) | }{ \sin \phi_{2} }$.
Другой способ:
$x_{C_{1} } = l_{1} \cos \phi_{1} + l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ), x_{C_{2} } = l_{1} \sin \phi_{1} + l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$\vec{ \tau }_{OO_{1} } = ( \sin \alpha, \cos \alpha ), \vec{n}_{OO_{1} } = ( \cos \alpha, - \sin \alpha )$.
Имеем:
$v_{C_{1} } = - l_{1} \omega_{1} \sin \phi_{1} - l_{2} \omega_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$v_{C_{2} } = l_{1} \omega_{1} \cos \phi_{1} + l_{2} \omega_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$\omega_{1} = \dot{ \phi_{1} }, \omega_{2} = \dot{ \phi }_{1} + \dot{ \phi }_{2}$.
Имеем два соотношения:
$v_{C_{1} } \cos \alpha = v_{C_{2} } \sin \alpha, v_{C_{1} } \sin \alpha + v_{C_{2} } \cos \alpha = - v$,
$v_{C_{1}} = v_{C_{2} } tg \alpha, v_{C_{2} } \left ( \cos \alpha + \frac{ \sin^{2} \alpha }{ \cos \alpha } \right ) = - v$,
$v_{C_{2} } = - v \cos \alpha, v_{C_{1} } = - v \sin \alpha$.
Имеем:
$\omega_{1} [ l_{1} \sin \phi_{1} + l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )] + \dot{ \phi}_{2} [ l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2})] = v \sin \alpha$,
$\omega_{1} [ - l_{1} \cos \phi_{1} - l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} )] + \dot{ \phi}_{2} [ - l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ] = v \cos \alpha$,
$\omega_{1}l_{1} [ \sin \phi_{1} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) - \cos \phi_{1} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ] = v [ \sin \alpha \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) + \cos \alpha \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ]$,
$\omega_{1}l_{1} \sin \phi_{2} = v \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} ), \omega_{1} = - \frac{v }{l_{1} } \frac{ \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} )}{ \sin \phi_{2} }$,
Интересно отметить, что при $\phi_{2} \rightarrow 0, \omega_{1} \rightarrow \infty$! Аналогично находятся $\dot{ \phi}_{2}$ и $\omega_{2}$.
Схват С (см. рис.) плоского двухзвенного автоматического манипулятора движется с постоянной скоростью $\vec{v}$ вдоль прямой $OO_{1}$, образующей с осью $Ax_{2}$ угол $\alpha$. Найти угловые скорости звеньев $AB$ и $BC$ в зависимости от конфигурации манипулятора, т. е. от углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, если $AB = l_{1}, BC = l_{2}$.
Решение:
Скорость точки $B$ $\vec{v}_{B} \perp \vec{AB}, v_{B} = \omega_{AB} l_{1}$, проекции скоростей точек $B$ и $C$ на $BC$ должны быть равны:
$v \cos \delta = v_{B} \cos \left ( \frac{ \pi }{2} - \phi_{2} \right ), v_{B} = v \frac{ \cos \delta }{ \sin \phi_{2} }$,
причем нетрудно подсчитать, что $\delta = \alpha - \gamma$, где $\gamma = \frac{ \pi }{2} - ( \phi_{1} + \phi_{2} )$. Таким образом:
$\omega_{AB} = \frac{v}{l_{1} } \frac{ | \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} ) | }{ \sin \phi_{2} }$.
Другой способ:
$x_{C_{1} } = l_{1} \cos \phi_{1} + l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ), x_{C_{2} } = l_{1} \sin \phi_{1} + l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$\vec{ \tau }_{OO_{1} } = ( \sin \alpha, \cos \alpha ), \vec{n}_{OO_{1} } = ( \cos \alpha, - \sin \alpha )$.
Имеем:
$v_{C_{1} } = - l_{1} \omega_{1} \sin \phi_{1} - l_{2} \omega_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$v_{C_{2} } = l_{1} \omega_{1} \cos \phi_{1} + l_{2} \omega_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} )$,
$\omega_{1} = \dot{ \phi_{1} }, \omega_{2} = \dot{ \phi }_{1} + \dot{ \phi }_{2}$.
Имеем два соотношения:
$v_{C_{1} } \cos \alpha = v_{C_{2} } \sin \alpha, v_{C_{1} } \sin \alpha + v_{C_{2} } \cos \alpha = - v$,
$v_{C_{1}} = v_{C_{2} } tg \alpha, v_{C_{2} } \left ( \cos \alpha + \frac{ \sin^{2} \alpha }{ \cos \alpha } \right ) = - v$,
$v_{C_{2} } = - v \cos \alpha, v_{C_{1} } = - v \sin \alpha$.
Имеем:
$\omega_{1} [ l_{1} \sin \phi_{1} + l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} )] + \dot{ \phi}_{2} [ l_{2} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2})] = v \sin \alpha$,
$\omega_{1} [ - l_{1} \cos \phi_{1} - l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} )] + \dot{ \phi}_{2} [ - l_{2} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ] = v \cos \alpha$,
$\omega_{1}l_{1} [ \sin \phi_{1} \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) - \cos \phi_{1} \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ] = v [ \sin \alpha \cos ( \phi_{1} + \phi_{2} ) + \cos \alpha \sin ( \phi_{1} + \phi_{2} ) ]$,
$\omega_{1}l_{1} \sin \phi_{2} = v \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} ), \omega_{1} = - \frac{v }{l_{1} } \frac{ \sin ( \alpha + \phi_{1} + \phi_{2} )}{ \sin \phi_{2} }$,
Интересно отметить, что при $\phi_{2} \rightarrow 0, \omega_{1} \rightarrow \infty$! Аналогично находятся $\dot{ \phi}_{2}$ и $\omega_{2}$.
