2021-01-10
Однородный прямоугольник с основанием $a$, высотой $b$ и весом $\vec{Q}$, лежит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $f$. Каким условиям удовлетворяет величина силы $\vec{P}$ (см. рис.), для которой прямоугольник находится в равновесии при любом значении угла $\alpha$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi }{2} \right )$?
Решение:
Расчетная схема приведена на рис. Для равновесия необходимо, чтобы
$\sum F_{x} = P \cos \alpha - F = 0$, (1)
$\sum F_{y} = P \sin \alpha + N - Q = 0$, (2)
где $\vec{N}$ - нормальная реакция, $\vec{F}$ - сила трения (покоя).
Далее, пусть точка приложения силы $N$ есть $D$. Обозначим $AD = \xi$. Ясно, что $\xi \in (0, a)$. Точное значение $\xi$, оставаясь в рамках модели абсолютно твердого тела, определить нельзя. Поэтому для равновесия достаточно исключить возможности поворотов относительно точки $A( \xi = 0)$ и точки $B( \xi = a)$. В результате получаем неравенства:
$P \cos \alpha \cdot b - P \sin \alpha \cdot a + Q \frac{a}{2} \geq 0$, (3)
$Q \frac{a}{2} - P \cos \alpha \cdot b \geq 0$, (4)
кроме того, еще запишем закон Кулона для силы трения покоя:
$F \leq fN$, (5)
Тогда из (2) имеем
$N = Q - P \sin \alpha$,
поэтому из (1) и (5) получим неравенство:
$P \leq \frac{fQ}{ \cos \alpha + f \sin \alpha }$. (6)
Неравенство (6) должно выполняться при любых $\alpha \in \left ( 0, \frac{ \pi }{2} \right )$, поэтому
$P \leq min_{0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi }{2} } \left [ \frac{fQ}{ \cos \alpha + f \sin \alpha } \right ] = A$.
Чтобы вычислить $A$, заметим что пип дроби соответствует шах знаменателя. Обозначим
$y( \alpha ) = \cos \alpha + f \sin \alpha$.
Имеем
$y^{ \prime } ( \alpha ) = - \sin \alpha + f \cos \alpha = 0$,
т. е. $\alpha_{extr} = arctg f = \alpha_{0}$. Кроме того,
$y^{ \prime \prime}( \alpha ) = - \cos \alpha - f \sin \alpha < 0$,
т.е. это действительно точка $max$.
Следовательно,
$max_{0 \leq \alpha \leq \frac{ \pi}{2} } ( \cos \alpha + f \sin \alpha ) = \cos \alpha_{0} + f \sin \alpha_{0} = \sqrt{1 + f^{2} }$.
Итак, $A = \frac{fQ}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$, и первое условие для силы $P$ следующее:
$P \leq \frac{fQ}{ \sqrt{1 + f^{2} } }$. (7)
Далее, из неравенства (3) получим
$P( \sin \alpha - \mu \cos \alpha ) \leq \frac{Q}{2}$, где $\mu = \frac{b}{a}$. (8)
Это неравенство также должно соблюдаться при любых $\alpha \in \left [ 0, \frac{ \pi }{2} \right ]$. Обозначим
$y_{1} ( \alpha ) = \sin \alpha - \mu \cos \alpha$,
тогда
$y_{1}^{ \prime } ( \alpha ) = \cos \alpha + \mu \sin \alpha > 0$ при $\alpha \in \left [ 0, \frac{ \pi }{2} \right ]$,
т. е. функция $y_{1} ( \alpha )$ монотонно возрастает на отрезке $\left [ 0, \frac{ \pi }{2} \right ]$. Поэтому имеем:
$y_{1}(0) = - \mu \leq y_{1}( \alpha ) \leq y_{1} \left ( \frac{ \pi }{2} \right ) = 1$. (9)
Объединяя неравенства (8) и (9), приходим к соотношению
$P \leq \frac{Q}{2}$. (10)
Наконец, из (4) имеем
$P \leq \frac{Q}{2 \mu \cos \alpha }$.
Последнее соотношение (в силу монотонности функции $\cos \alpha$ на интервале $\left ( 0, \frac{ \pi }{2} \right )$ будет выполнено при любых $\alpha \in \left [ 0, \frac{ \pi }{2} \right ]$ при условии
$P \leq \frac{Q}{2 \mu } = \frac{Qa}{2b}$. (11)
Таким образом, мы доказали, что условия (1-5), достаточные для равновесия тела при указанных в задаче условиях, эквивалентны неравенствам (7), (10), (11), что можно записать более компактно:
$P \leq min \left \{ \frac{Q}{2}, \frac{Qa}{2b}, \frac{Qf}{ \sqrt{1 + f^{2} } } \right \}$. (12)
Невыполнение условия (12) влечет нарушение одного из условий равновесия или же нарушения неравенства Кулона (5). Это, собственно говоря, доказывает и необходимость условия (12) для равновесия тела.