Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14773
2021-01-10 
На шероховатом горизонтальном столе лежит брусок (см. рис. с видом сверху). Какую минимальную горизонтальную силу $F$, перпендикулярную бруску, нужно приложить, чтобы его сдвинуть? Коэффициент трения равен $\mu$, масса бруска $m$.
Решение:
Пусть $\rho$ - линейная плотность бруска, а его длина $AB = 2l$, $C$ - его центр масс. Начальное движение бруска, при соблюдении перпендикулярности силы $\vec{F}$ к $AB$, будет либо:
1. поступательное вдоль силы $\vec{F}$, либо
2. мгновенно-вращательное с МЦС, лежащим где-то на линии $AB$ (точка $P$ см. рис.).
Ясно, что в случае 1 для трогания бруска необходимо
$F \geq \mu mg = F_{min}^{(1)}$.
Посмотрим, что будет в случае 2. Обозначим $PC = z$. Тогда уравнение моментов для точки $P$ с учетом сил трения будет:
$\sum M_{P} = F(l + z) - \int_{0}^{l+z} \mu \rho gxdx - \int_{0}^{l - z} \mu \rho gx dx, z \in [0,l]$
или так:
$\sum M_{P} = F(l + z) - \frac{ \mu \rho g}{2} [(l - z)^{2} + (l + z)^{2}] = F(l + z) - \mu \rho g(l^{2} + z^{2})$.
Для трогания необходимо неравенство $\sum M_{P} \geq 0$, отсюда:
$F \geq F_{min}^{(2)} = min_{0 \leq z \leq l} \frac{ \mu \rho g(l^{2} + z^{2} ) }{l+z}$.
Функция $\frac{l^{2} + z^{2} }{l + z}$ достигает $min$ в точке $z = l(\sqrt{2} - 1)$. Таким образом,
$F \geq F_{min}^{(2)} = \mu \rho g \cdot 2l \frac{2 - \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \mu gm ( \sqrt{2} - 1 )$.
Ясно, что
$F_{min}^{(2)} < F_{min}^{(1)}$.
Кроме того, можно показать, что силу $F$ выгоднее всегда прикладывать в концевых точках А или В.
Случай $z \geq 1$ приводит к соотношению
$F \geq \mu mg \frac{z}{z + l} \geq \frac{ \mu mg}{2}$,
что явно хуже полученного
$\mu mg( \sqrt{2} - 1) \approx 0,41 \mu mg$.
Ситуации, когда $P$ лежит с другой стороны от точки $C$ рассматриваются аналогично и приводят к худшим результатам.
Можно предложить следующее обобщение задачи. Найти минимальную (по модулю) силу $\vec{F}$, способную стронуть брусок, не накладывая требования перпендикулярности ее к бруску. Оказывается (доказательство достаточно громоздко), что минимальная сила обязательно должна быть перпендикулярной бруску, т. е. наличие составляющей силы $\vec{F}$ вдоль бруска ухудшает результат (т. е. только увеличивает модуль силы $\vec{F}$ способной стронуть брусок!).
Отметим, в заключение, что сформулированная задача рассматривает процесс перехода силы трения покоя в силу трения скольжения. Поэтому здесь необходимо учитывать тот факт, что коэффициент трения $\mu$ может, вообще говоря, испытывать скачкообразное изменение. Кроме того, сила трения покоя, приложенная к элементарному куску бруска, направлена против равнодействующих внешних сил, действующих на этот кусок. А сила трения скольжения - против скорости, приобретенной этим куском (как и подразумевается при решении этой задачи!). Учет описанных обстоятельств существенно усложняет задачу!
На шероховатом горизонтальном столе лежит брусок (см. рис. с видом сверху). Какую минимальную горизонтальную силу $F$, перпендикулярную бруску, нужно приложить, чтобы его сдвинуть? Коэффициент трения равен $\mu$, масса бруска $m$.
Решение:
Пусть $\rho$ - линейная плотность бруска, а его длина $AB = 2l$, $C$ - его центр масс. Начальное движение бруска, при соблюдении перпендикулярности силы $\vec{F}$ к $AB$, будет либо:
1. поступательное вдоль силы $\vec{F}$, либо
2. мгновенно-вращательное с МЦС, лежащим где-то на линии $AB$ (точка $P$ см. рис.).
Ясно, что в случае 1 для трогания бруска необходимо
$F \geq \mu mg = F_{min}^{(1)}$.
Посмотрим, что будет в случае 2. Обозначим $PC = z$. Тогда уравнение моментов для точки $P$ с учетом сил трения будет:
$\sum M_{P} = F(l + z) - \int_{0}^{l+z} \mu \rho gxdx - \int_{0}^{l - z} \mu \rho gx dx, z \in [0,l]$
или так:
$\sum M_{P} = F(l + z) - \frac{ \mu \rho g}{2} [(l - z)^{2} + (l + z)^{2}] = F(l + z) - \mu \rho g(l^{2} + z^{2})$.
Для трогания необходимо неравенство $\sum M_{P} \geq 0$, отсюда:
$F \geq F_{min}^{(2)} = min_{0 \leq z \leq l} \frac{ \mu \rho g(l^{2} + z^{2} ) }{l+z}$.
Функция $\frac{l^{2} + z^{2} }{l + z}$ достигает $min$ в точке $z = l(\sqrt{2} - 1)$. Таким образом,
$F \geq F_{min}^{(2)} = \mu \rho g \cdot 2l \frac{2 - \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \mu gm ( \sqrt{2} - 1 )$.
Ясно, что
$F_{min}^{(2)} < F_{min}^{(1)}$.
Кроме того, можно показать, что силу $F$ выгоднее всегда прикладывать в концевых точках А или В.
Случай $z \geq 1$ приводит к соотношению
$F \geq \mu mg \frac{z}{z + l} \geq \frac{ \mu mg}{2}$,
что явно хуже полученного
$\mu mg( \sqrt{2} - 1) \approx 0,41 \mu mg$.
Ситуации, когда $P$ лежит с другой стороны от точки $C$ рассматриваются аналогично и приводят к худшим результатам.
Можно предложить следующее обобщение задачи. Найти минимальную (по модулю) силу $\vec{F}$, способную стронуть брусок, не накладывая требования перпендикулярности ее к бруску. Оказывается (доказательство достаточно громоздко), что минимальная сила обязательно должна быть перпендикулярной бруску, т. е. наличие составляющей силы $\vec{F}$ вдоль бруска ухудшает результат (т. е. только увеличивает модуль силы $\vec{F}$ способной стронуть брусок!).
Отметим, в заключение, что сформулированная задача рассматривает процесс перехода силы трения покоя в силу трения скольжения. Поэтому здесь необходимо учитывать тот факт, что коэффициент трения $\mu$ может, вообще говоря, испытывать скачкообразное изменение. Кроме того, сила трения покоя, приложенная к элементарному куску бруска, направлена против равнодействующих внешних сил, действующих на этот кусок. А сила трения скольжения - против скорости, приобретенной этим куском (как и подразумевается при решении этой задачи!). Учет описанных обстоятельств существенно усложняет задачу!
