Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14770
2020-12-31 
Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные колебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюснутой, сферической, снова вытянутой и так далее. Как зависит период этих пульсаций $\tau$ от плотности $\rho$, поверхностного натяжения $\sigma$ и радиуса капли $R$?
Решение:
Действительные колебания капли носят сложный двумерный характер. Рассмотрим простую модель, позволяющую сделать оценочные расчеты.
В тех частях капли, где радиус уменьшился на величину $\Delta R$, давление будет больше на величину
$\Delta P = \frac{ \sigma }{R^{2} } \Delta R$,
поэтому на эту часть капли будет действовать избыточная сила, равная приблизительно $\Delta P \cdot \pi R^{2}$. Эта сила будет приводить в движение примерно одну четвертую часть массы капли
$m = \frac{ \pi R^{3}}{3}$.
Используя такую модель, получим уравнение колебаний
$m \frac{d^{2} }{dt^{2} } ( \Delta R) + \pi \sigma ( \Delta R) = 0$.
Отсюда находим период пульсации
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \pi \sigma } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \rho R^{3} }{3 \sigma } }$.
Ввиду приближённого характера модели численный коэффициент здесь тоже приближённый, но вывод уравнения отражает механизм возникающих колебаний.
Отметим, что с точностью до множителя период колебаний капли можно получить из соображений теории размерности, так как из величин $\rho, \sigma$ и $R$, от которых зависит период - других заданных параметров нет - можно составить единственную комбинацию с размерностью времени: $\tau \approx \frac{ \sqrt{ \rho } R^{3/2}}{ \sqrt{ \sigma}}$.
Капля несжимаемой жидкости совершает пульсационные колебания, становясь последовательно вытянутой, сферической, сплюснутой, сферической, снова вытянутой и так далее. Как зависит период этих пульсаций $\tau$ от плотности $\rho$, поверхностного натяжения $\sigma$ и радиуса капли $R$?
Решение:
Действительные колебания капли носят сложный двумерный характер. Рассмотрим простую модель, позволяющую сделать оценочные расчеты.
В тех частях капли, где радиус уменьшился на величину $\Delta R$, давление будет больше на величину
$\Delta P = \frac{ \sigma }{R^{2} } \Delta R$,
поэтому на эту часть капли будет действовать избыточная сила, равная приблизительно $\Delta P \cdot \pi R^{2}$. Эта сила будет приводить в движение примерно одну четвертую часть массы капли
$m = \frac{ \pi R^{3}}{3}$.
Используя такую модель, получим уравнение колебаний
$m \frac{d^{2} }{dt^{2} } ( \Delta R) + \pi \sigma ( \Delta R) = 0$.
Отсюда находим период пульсации
$\tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ \pi \sigma } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \rho R^{3} }{3 \sigma } }$.
Ввиду приближённого характера модели численный коэффициент здесь тоже приближённый, но вывод уравнения отражает механизм возникающих колебаний.
Отметим, что с точностью до множителя период колебаний капли можно получить из соображений теории размерности, так как из величин $\rho, \sigma$ и $R$, от которых зависит период - других заданных параметров нет - можно составить единственную комбинацию с размерностью времени: $\tau \approx \frac{ \sqrt{ \rho } R^{3/2}}{ \sqrt{ \sigma}}$.
