Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14768
2020-12-31 
Тонкая проволока, охватывающая петлей брусок льда, под действием нагрузки способна пройти через лед. Полагая, что скорость движения проволоки $v$ определяется скоростью подвода тепла через проволоку от области над проволокой, где вода замерзает, к области под проволокой, где плавится лед, оценить величину скорости $v$. Теплопроводностью льда пренебречь. Температура льда $0^{ \circ } С$, теплота плавления $q = 335 Дж/г$, плотность льда $\rho = 0,917 г/см^{3}$. Диаметр проволоки $D = 0,1 мм$, коэффициент теплопроводности $\xi = 130 Вт/(м \cdot К)$, давление, создаваемое под проволокой, принять равным 10 атм.
Решение:
Обозначим удельные объемы льда $\nu_{л}$ и воды $\nu_{в}$. Под проволокой температура плавления льда из-за повышенного давления меньше $0^{ \circ} С$ на величину
$\Delta T = P ( \nu_{л} - \nu_{в} ) \frac{T}{q}$.
За малое время $\Delta t$ количество тепла, прошедшего поперек проволоки на единицу ее длины, можно оценить по одномерному приближению закона теплопроводности
$Q = D \xi \frac{dT}{dz} \Delta t = D \xi \frac{ \Delta T}{ D} \Delta t = \xi \Delta T \Delta t$.
Это тепло проплавит лед толщиной $\Delta z$, на что нужно его количество, равное $\rho_{л}qD \Delta z$. В установившемся режиме из равенства теплот находим $\xi \Delta T \Delta t = \rho_{л} qD \Delta z$. Так как скорость движения проволоки есть $v = \frac{ \Delta z}{ \Delta t}$, то получим
$v = \frac{ \xi TP( \rho_{в} - \rho_{л} )}{q^{2} \rho_{л}^{2} \rho_{в}D } = \frac{130 \cdot 273 \cdot 10^{6} \cdot 83}{(335 \cdot 10^{3})^{2} \cdot 917^{2} \cdot 1000 \cdot 10^{-4}} = 0,31 мм/с$
Следует заметить, что оценка по одномерному приближению лучше подходит для проволоки не круглого, а квадратного сечения со стороной $D$. Также отметим, что в стационарном режиме для плавления льда не требуется дополнительного подвода тепла, так как при замерзании воды над проволокой выделяется такое же его количество, которое необходимо для плавления льда под ней. Поскольку плотность воды больше, чем льда, то жидкость будет достаточно свободно обтекать проволоку.
Тонкая проволока, охватывающая петлей брусок льда, под действием нагрузки способна пройти через лед. Полагая, что скорость движения проволоки $v$ определяется скоростью подвода тепла через проволоку от области над проволокой, где вода замерзает, к области под проволокой, где плавится лед, оценить величину скорости $v$. Теплопроводностью льда пренебречь. Температура льда $0^{ \circ } С$, теплота плавления $q = 335 Дж/г$, плотность льда $\rho = 0,917 г/см^{3}$. Диаметр проволоки $D = 0,1 мм$, коэффициент теплопроводности $\xi = 130 Вт/(м \cdot К)$, давление, создаваемое под проволокой, принять равным 10 атм.
Решение:
Обозначим удельные объемы льда $\nu_{л}$ и воды $\nu_{в}$. Под проволокой температура плавления льда из-за повышенного давления меньше $0^{ \circ} С$ на величину
$\Delta T = P ( \nu_{л} - \nu_{в} ) \frac{T}{q}$.
За малое время $\Delta t$ количество тепла, прошедшего поперек проволоки на единицу ее длины, можно оценить по одномерному приближению закона теплопроводности
$Q = D \xi \frac{dT}{dz} \Delta t = D \xi \frac{ \Delta T}{ D} \Delta t = \xi \Delta T \Delta t$.
Это тепло проплавит лед толщиной $\Delta z$, на что нужно его количество, равное $\rho_{л}qD \Delta z$. В установившемся режиме из равенства теплот находим $\xi \Delta T \Delta t = \rho_{л} qD \Delta z$. Так как скорость движения проволоки есть $v = \frac{ \Delta z}{ \Delta t}$, то получим
$v = \frac{ \xi TP( \rho_{в} - \rho_{л} )}{q^{2} \rho_{л}^{2} \rho_{в}D } = \frac{130 \cdot 273 \cdot 10^{6} \cdot 83}{(335 \cdot 10^{3})^{2} \cdot 917^{2} \cdot 1000 \cdot 10^{-4}} = 0,31 мм/с$
Следует заметить, что оценка по одномерному приближению лучше подходит для проволоки не круглого, а квадратного сечения со стороной $D$. Также отметим, что в стационарном режиме для плавления льда не требуется дополнительного подвода тепла, так как при замерзании воды над проволокой выделяется такое же его количество, которое необходимо для плавления льда под ней. Поскольку плотность воды больше, чем льда, то жидкость будет достаточно свободно обтекать проволоку.
