Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14764
2020-12-31 
Какую минимальную работу должен совершить двигатель идеального холодильника, чтобы работая в среде, имеющей температуру $t_{c}$, охладить $\nu$ молей воды до $t_{0} = 0^{ \circ} С$ и превратить ее в лед?
Решение:
В этой задаче “горячая” температура остается постоянной, а температура $T_{x}$ падает по мере остывания воды. Считаем, что идеальный холодильник работает по циклу Карно. Здесь цикл повторяется много раз, после каждого обхода на нижней изотерме температура уменьшается на малую величину $dT_{x}$, то есть нижняя линия цикла является изотермой лишь приближенно.
$dA = \frac{T_{c} - T_{x} }{T_{x} } dQ_{x}, dQ_{x} = C \nu dT_{x}$,
$A_{1} = C \nu \int_{T_{0} }^{T_{c} } \left ( \frac{T_{c} }{T_{x} } - 1 \right ) dT_{x} = C \nu \left ( T_{c} ln \frac{T_{c} }{T_{0} } - (T_{c} - T_{0} ) \right )$
где $C$ - молярная теплоемкость воды.
Найденная работа $A_{1}$ затрачена на охлаждение. Работа, затраченная на замерзание воды при температуре $T_{0}$, равна $A_{2} = q \nu \frac{T_{c} - T_{0}}{T_{0} }$, где $q$ - молярная теплота плавления льда. Полная совершенная работа
$A = A_{1} + A_{2} = \nu \left [ CT_{c} ln \frac{T_{c} }{T_{0} } + \left ( \frac{q}{T_{0} } - C \right ) (T_{c} - T_{0} ) \right ]$.
Холодильник начинает работать, когда температура воды и среды одинаковы, при этом его КПД стремится к бесконечности, так как и подвод и отвод тепла осуществляется при одной и той же температуре. По мере охлаждения воды КПД уменьшается.
Отметим, что КПД идеального холодильника, работающего по циклу Карно, при $t_{x} = -13^{ \circ} С$ и комнатной температуре $t_{г} = + 20^{ \circ} С$ равен $\frac{260}{33} = 7,9$, т.е. гораздо больше единицы. Также следует обратить внимание на то, что с помощью холодильной машины может быть создана разность температур некоторых сред, но для этого нужно затратить работу.
Какую минимальную работу должен совершить двигатель идеального холодильника, чтобы работая в среде, имеющей температуру $t_{c}$, охладить $\nu$ молей воды до $t_{0} = 0^{ \circ} С$ и превратить ее в лед?
Решение:
В этой задаче “горячая” температура остается постоянной, а температура $T_{x}$ падает по мере остывания воды. Считаем, что идеальный холодильник работает по циклу Карно. Здесь цикл повторяется много раз, после каждого обхода на нижней изотерме температура уменьшается на малую величину $dT_{x}$, то есть нижняя линия цикла является изотермой лишь приближенно.
$dA = \frac{T_{c} - T_{x} }{T_{x} } dQ_{x}, dQ_{x} = C \nu dT_{x}$,
$A_{1} = C \nu \int_{T_{0} }^{T_{c} } \left ( \frac{T_{c} }{T_{x} } - 1 \right ) dT_{x} = C \nu \left ( T_{c} ln \frac{T_{c} }{T_{0} } - (T_{c} - T_{0} ) \right )$
где $C$ - молярная теплоемкость воды.
Найденная работа $A_{1}$ затрачена на охлаждение. Работа, затраченная на замерзание воды при температуре $T_{0}$, равна $A_{2} = q \nu \frac{T_{c} - T_{0}}{T_{0} }$, где $q$ - молярная теплота плавления льда. Полная совершенная работа
$A = A_{1} + A_{2} = \nu \left [ CT_{c} ln \frac{T_{c} }{T_{0} } + \left ( \frac{q}{T_{0} } - C \right ) (T_{c} - T_{0} ) \right ]$.
Холодильник начинает работать, когда температура воды и среды одинаковы, при этом его КПД стремится к бесконечности, так как и подвод и отвод тепла осуществляется при одной и той же температуре. По мере охлаждения воды КПД уменьшается.
Отметим, что КПД идеального холодильника, работающего по циклу Карно, при $t_{x} = -13^{ \circ} С$ и комнатной температуре $t_{г} = + 20^{ \circ} С$ равен $\frac{260}{33} = 7,9$, т.е. гораздо больше единицы. Также следует обратить внимание на то, что с помощью холодильной машины может быть создана разность температур некоторых сред, но для этого нужно затратить работу.
