Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14755
2020-12-31 
Узкий цилиндрический сосуд, диаметр которого мал по сравнению с его высотой $H_{0} = 20 см$, целиком заполнен водой при температуре 300 К. Сосуд обдувается сверху поперечным потоком сухого воздуха, так что давление пара на верхнем конце сосуда можно считать равным нулю. Учитывая диффузию пара в сосуде, найти время, через которое испарится вся вода. Плотность насыщенного пара при указанной температуре $\rho_{H} = 3 \cdot 10^{-5} г/см^{3}$, а коэффициент диффузии паров воды в воздухе $D = 0,3 см^{2}/с$. Считать, что давление пара непосредственно над поверхностью жидкости равно $P_{H}$.
Решение:
При медленном испарении диффузионный поток по высоте постоянен, так как через каждое сечение за единицу времени проходит одинаковое число молекул. Отсюда получим
$j = - D \frac{dn}{dz} = -D \frac{n_{H}}{H_{0} - H }$.
Здесь учтено, что при $z = H_{0}$ величина $n = 0$.
Поток массы испарившихся молекул равен $jm$ ($m$ - масса молекулы). Его следует приравнять массе жидкости, испарившейся в единицу времени с единичной площади $\rho_{0} \frac{dH}{dt}$. Получим уравнение
$\rho_{0} \frac{dH}{dt} = - D \frac{n_{H}m }{H_{0} - H }$.
Следовательно, $dt = - \frac{ \rho_{0} }{D \rho_{H} } ( H_{0} - H ) dH$.
Интегрируем, используя условие $H = H_{0}$ при $t = 0$, и находим $t = \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{H}D } (H_{0} - H )^{2}$. Вода полностью испарится при $H = 0$, поэтому искомое время
$t = \frac{ \rho_{0}H_{0}^{2} }{2 \rho_{H}D } = \frac{1 \cdot 20^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-5} \cdot 0,3 } = 2,22 \cdot 10^{7} с = 257$ суток.
С математической точки зрения уравнения диффузии и теплопроводности полностью совпадают, в частности, рассмотренная задача аналогична задаче о промерзании водоема
Узкий цилиндрический сосуд, диаметр которого мал по сравнению с его высотой $H_{0} = 20 см$, целиком заполнен водой при температуре 300 К. Сосуд обдувается сверху поперечным потоком сухого воздуха, так что давление пара на верхнем конце сосуда можно считать равным нулю. Учитывая диффузию пара в сосуде, найти время, через которое испарится вся вода. Плотность насыщенного пара при указанной температуре $\rho_{H} = 3 \cdot 10^{-5} г/см^{3}$, а коэффициент диффузии паров воды в воздухе $D = 0,3 см^{2}/с$. Считать, что давление пара непосредственно над поверхностью жидкости равно $P_{H}$.
Решение:
При медленном испарении диффузионный поток по высоте постоянен, так как через каждое сечение за единицу времени проходит одинаковое число молекул. Отсюда получим
$j = - D \frac{dn}{dz} = -D \frac{n_{H}}{H_{0} - H }$.
Здесь учтено, что при $z = H_{0}$ величина $n = 0$.
Поток массы испарившихся молекул равен $jm$ ($m$ - масса молекулы). Его следует приравнять массе жидкости, испарившейся в единицу времени с единичной площади $\rho_{0} \frac{dH}{dt}$. Получим уравнение
$\rho_{0} \frac{dH}{dt} = - D \frac{n_{H}m }{H_{0} - H }$.
Следовательно, $dt = - \frac{ \rho_{0} }{D \rho_{H} } ( H_{0} - H ) dH$.
Интегрируем, используя условие $H = H_{0}$ при $t = 0$, и находим $t = \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{H}D } (H_{0} - H )^{2}$. Вода полностью испарится при $H = 0$, поэтому искомое время
$t = \frac{ \rho_{0}H_{0}^{2} }{2 \rho_{H}D } = \frac{1 \cdot 20^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-5} \cdot 0,3 } = 2,22 \cdot 10^{7} с = 257$ суток.
С математической точки зрения уравнения диффузии и теплопроводности полностью совпадают, в частности, рассмотренная задача аналогична задаче о промерзании водоема
