Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14751
2020-12-31 
Определить расход массы газа $M$ при стационарном изотермическом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длиной $L$ и радиуса $R$, на концах которой поддерживаются давления $P_{1}$ и $P_{2}$.
Решение:
Внутри трубы выделим короткий соосный цилиндр длиной $dx$ и радиуса $r$.
Сила, толкающая цилиндр в положительном направлении оси х, равна разности давлений, умноженной на площадь основания. Сила сопротивления действует на боковую поверхность и равна произведению касательного напряжения $\tau_{zx} = - \eta \frac{dV_{x} }{dz}$ на ее площадь $\tau \cdot 2 \pi r \cdot dx$. При стационарном движении обе силы равны:
$- \pi r^{2} \frac{dP}{dx} dx = - \eta \frac{dv_{x} }{dr} 2 \pi r dx$.
Интегрируя это соотношение при условии, что скорость на стенке трубы равна нулю, получим
$v_{x} = \frac{1}{4 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right ) (R^{2} - r^{2} )$.
Знак минус показывает, что в направлении скорости давление падает. Объём жидкости или газа, протекающего через сечение трубы в единицу времени, равен
$Q = \int_{0}^{R} 2 \pi rv_{x} dr = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right )$
Масса жидкости или газа, протекающая в единицу времени, то есть расход массы, связан с объемным расходом соотношением $M = \rho Q$. Для несжимаемой жидкости $\rho = const$, отсюда следует, что и объем протекающей в единицу времени жидкости $Q_{ж}$ не зависит от X. Получим
$Q_{ж} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \frac{P_{2} - P_{1} }{L}$.
Для газа можно учесть, что его плотность изменяется при изменении давления в соответствии с уравнением состояния идеального газа. Используя это уравнение, будем иметь $M_{г} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right ) \frac{ \mu P}{RT} = const$. После интегрирования находим решение задачи:
$M_{г} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \frac{ \mu }{RT} \frac{R_{2}^{2} - R_{1}^{2} }{2L}$.
Если перепад давления небольшой $P_{1} - P_{2} \ll P$, то получается формула для несжимаемой жидкости.
Отметим, что при изотермическом движении газа плотность его падает вдоль трубы из-за падения давления, а так как расход массы остается постоянным, то скорость возрастает. В конце трубы скорость больше, чем в начале во столько раз, во сколько уменьшились плотность и давление.
Определить расход массы газа $M$ при стационарном изотермическом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длиной $L$ и радиуса $R$, на концах которой поддерживаются давления $P_{1}$ и $P_{2}$.
Решение:
Внутри трубы выделим короткий соосный цилиндр длиной $dx$ и радиуса $r$.
Сила, толкающая цилиндр в положительном направлении оси х, равна разности давлений, умноженной на площадь основания. Сила сопротивления действует на боковую поверхность и равна произведению касательного напряжения $\tau_{zx} = - \eta \frac{dV_{x} }{dz}$ на ее площадь $\tau \cdot 2 \pi r \cdot dx$. При стационарном движении обе силы равны:
$- \pi r^{2} \frac{dP}{dx} dx = - \eta \frac{dv_{x} }{dr} 2 \pi r dx$.
Интегрируя это соотношение при условии, что скорость на стенке трубы равна нулю, получим
$v_{x} = \frac{1}{4 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right ) (R^{2} - r^{2} )$.
Знак минус показывает, что в направлении скорости давление падает. Объём жидкости или газа, протекающего через сечение трубы в единицу времени, равен
$Q = \int_{0}^{R} 2 \pi rv_{x} dr = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right )$
Масса жидкости или газа, протекающая в единицу времени, то есть расход массы, связан с объемным расходом соотношением $M = \rho Q$. Для несжимаемой жидкости $\rho = const$, отсюда следует, что и объем протекающей в единицу времени жидкости $Q_{ж}$ не зависит от X. Получим
$Q_{ж} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \frac{P_{2} - P_{1} }{L}$.
Для газа можно учесть, что его плотность изменяется при изменении давления в соответствии с уравнением состояния идеального газа. Используя это уравнение, будем иметь $M_{г} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \left ( - \frac{dP}{dx} \right ) \frac{ \mu P}{RT} = const$. После интегрирования находим решение задачи:
$M_{г} = \frac{ \pi R^{4} }{8 \eta } \frac{ \mu }{RT} \frac{R_{2}^{2} - R_{1}^{2} }{2L}$.
Если перепад давления небольшой $P_{1} - P_{2} \ll P$, то получается формула для несжимаемой жидкости.
Отметим, что при изотермическом движении газа плотность его падает вдоль трубы из-за падения давления, а так как расход массы остается постоянным, то скорость возрастает. В конце трубы скорость больше, чем в начале во столько раз, во сколько уменьшились плотность и давление.
