ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-31   
Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, заполненном проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих сфер постоянны и равны $T_{1}$ и $T_{2}$.


Решение:


Полный поток тепла $q = - \xi \frac{dT}{dz}$ через поверхность сферы остается постоянным $4 \pi r^{2} q = 0$, так как тепло нигде не накапливается, поскольку температура остается неизменной. Отсюда получим

$- \xi \frac{dT}{dr} 4 \pi r^{2} = Q, T = \frac{Q}{4 \pi \xi } \frac{1}{r} + C$. (1)

Используя граничные условия, находим $Q$ и $C$:

$T_{1} = \frac{Q}{4 \pi} \frac{1}{R_{1} } + C, T_{2} = \frac{Q}{4 \pi } \frac{1}{R_{2} } + C$,
$Q = 4 \pi \xi R_{1}R_{2} \frac{T_{1} - T_{2} }{R_{2} - R_{1} }, C = \frac{T_{2}R_{2} - T_{1}R_{1} }{R_{2} - R_{1} }$. (2)

Отметим, что в этой задаче для поддержания перепада температур требуется подвод тепла, который за единицу времени равен $Q$.

В предельном случае, при $R_{1} \approx R_{2}$, имеем условие $R_{1} - R_{2} = d \ll R_{1}$, используя которое получаем решение для плоской задачи. При этом поток тепла равен

$Q = S \xi \frac{T_{1} - T_{2} }{d}$.