Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14748
2020-12-31 
Рассчитать тепловые флуктуации объема на основании модели, в которой происходят флуктуации объема газа, находящегося в цилиндре с поршнем, к которому с внешней стороны приложено постоянное давление.
Решение:
Сила, действующая на поршень, равна разности давлений изнутри $P$ и снаружи $P_{0}$ цилиндра, умноженной на площадь поршня $\Phi$
$(P - P_{0}) \Phi = \left ( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right )_{S} \Phi \Delta V = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{S} \Phi^{2}x$,
где $x$ - смещение от положения равновесия, $\Delta V = \Phi x$ - изменение объема. Производная вычисляется при постоянной энтропии $S$, если цилиндр и поршень не проводят тепло.
Уравнение движения поршня
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \left ( - \frac{ \partial \Phi }{ \partial V} \right )_{S} \Phi^{2} x = 0$
является уравнением для гармонического осциллятора, так как для устойчивости вещества нужно $\left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{S} < 0$.
Средняя потенциальная энергия поршня равна тепловой энергии одной частицы:
$\left ( - \frac{ \partial P }{ \partial V } \right )_{S} \Phi^{2} \frac{ \langle x^{2} \rangle }{2} = \frac{kT}{2}$.
Отсюда
$\langle ( \Delta V)^{2} \rangle_{x} = - kT \left ( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_{S}$. (2)
Можно рассмотреть ту же задачу для цилиндра и поршня, сделанных из материала, хорошо проводящего тепло, и помещенных в среду с постоянной температурой. В таком случае в итоговой формуле следует брать производную при постоянной температуре.
Рассчитать тепловые флуктуации объема на основании модели, в которой происходят флуктуации объема газа, находящегося в цилиндре с поршнем, к которому с внешней стороны приложено постоянное давление.
Решение:
Сила, действующая на поршень, равна разности давлений изнутри $P$ и снаружи $P_{0}$ цилиндра, умноженной на площадь поршня $\Phi$
$(P - P_{0}) \Phi = \left ( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right )_{S} \Phi \Delta V = \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{S} \Phi^{2}x$,
где $x$ - смещение от положения равновесия, $\Delta V = \Phi x$ - изменение объема. Производная вычисляется при постоянной энтропии $S$, если цилиндр и поршень не проводят тепло.
Уравнение движения поршня
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } + \left ( - \frac{ \partial \Phi }{ \partial V} \right )_{S} \Phi^{2} x = 0$
является уравнением для гармонического осциллятора, так как для устойчивости вещества нужно $\left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{S} < 0$.
Средняя потенциальная энергия поршня равна тепловой энергии одной частицы:
$\left ( - \frac{ \partial P }{ \partial V } \right )_{S} \Phi^{2} \frac{ \langle x^{2} \rangle }{2} = \frac{kT}{2}$.
Отсюда
$\langle ( \Delta V)^{2} \rangle_{x} = - kT \left ( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_{S}$. (2)
Можно рассмотреть ту же задачу для цилиндра и поршня, сделанных из материала, хорошо проводящего тепло, и помещенных в среду с постоянной температурой. В таком случае в итоговой формуле следует брать производную при постоянной температуре.
