Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14747
2020-12-31 
Предел чувствительности пружинных весов ограничивается тепловым движением механизма. Найти ту малую массу $\Delta m$, которая может быть определена при однократном взвешивании на пружинных весах, если жесткость пружины равна $\alpha$, а температура $T$.
Решение:
Как известно, у гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, отсюда можно определить среднеквадратичное удлинение пружины, обусловленное бомбардировкой молекулами окружающей среды:
$\frac{ \alpha }{2} \langle x^{2} \rangle = \frac{1}{2} kT, \sqrt{ \langle x^{2} \rangle } = \sqrt{ \frac{kT}{ \alpha } }$.
Здесь учтено, что пружина имеет одну степень свободы. Из-за теплового движения молекул среды пружина постоянно имеет какое-то удлинение, которое и
ограничивает точность весов. На фоне флуктуационных отклонений можно различить отклонение, вызванные весом, которое не больше среднеквадратичного случайного. Отсюда получим оценку предельной массы:
$\Delta m g = \alpha \sqrt{ \langle x^{2} \rangle }, \Delta m = \frac{ \sqrt{kT \alpha } }{g}$.
Величина предельной массы зависит от жесткости весов.
Для оценки чувствительности можно пользоваться несколько другой характеристикой. Рассмотрим весы такие, что некоторая известная масса $m_{0}$ вызывает отклонение на величину $x_{0}$, следовательно, $m_{0}g = \alpha x_{0}$ и $\alpha = \frac{m_{0}g }{x_{0} }$. Используя это равенство, получим
$\frac{ \Delta m}{m_{0} } = \sqrt{ \frac{kT}{m_{0}gx_{0} } }$.
Здесь под корнем находится отношение тепловой энергии осциллятора к потенциальной энергии в поле тяжести заданной массы $m_{0}$. При $m_{0} = 10^{-3} г$ и $x_{)} = 1 мм$, что примерно соответствует эффективной чувствительности аналитических весов, получим $\frac{ \Delta m}{m} = 0,6 \cdot 10^{-6}$. Предельная масса оказалась очень малой, и смещение чашки весов при этом тоже очень мало. Но это малое смещение можно сильно увеличить с помощью светового луча, отраженного от закрепленного на весах зеркала, так что малость смещения не накладывает принципиальных ограничений на возможности взвешивания. Такие ограничения накладывает тепловое движение.
Предел чувствительности пружинных весов ограничивается тепловым движением механизма. Найти ту малую массу $\Delta m$, которая может быть определена при однократном взвешивании на пружинных весах, если жесткость пружины равна $\alpha$, а температура $T$.
Решение:
Как известно, у гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, отсюда можно определить среднеквадратичное удлинение пружины, обусловленное бомбардировкой молекулами окружающей среды:
$\frac{ \alpha }{2} \langle x^{2} \rangle = \frac{1}{2} kT, \sqrt{ \langle x^{2} \rangle } = \sqrt{ \frac{kT}{ \alpha } }$.
Здесь учтено, что пружина имеет одну степень свободы. Из-за теплового движения молекул среды пружина постоянно имеет какое-то удлинение, которое и
ограничивает точность весов. На фоне флуктуационных отклонений можно различить отклонение, вызванные весом, которое не больше среднеквадратичного случайного. Отсюда получим оценку предельной массы:
$\Delta m g = \alpha \sqrt{ \langle x^{2} \rangle }, \Delta m = \frac{ \sqrt{kT \alpha } }{g}$.
Величина предельной массы зависит от жесткости весов.
Для оценки чувствительности можно пользоваться несколько другой характеристикой. Рассмотрим весы такие, что некоторая известная масса $m_{0}$ вызывает отклонение на величину $x_{0}$, следовательно, $m_{0}g = \alpha x_{0}$ и $\alpha = \frac{m_{0}g }{x_{0} }$. Используя это равенство, получим
$\frac{ \Delta m}{m_{0} } = \sqrt{ \frac{kT}{m_{0}gx_{0} } }$.
Здесь под корнем находится отношение тепловой энергии осциллятора к потенциальной энергии в поле тяжести заданной массы $m_{0}$. При $m_{0} = 10^{-3} г$ и $x_{)} = 1 мм$, что примерно соответствует эффективной чувствительности аналитических весов, получим $\frac{ \Delta m}{m} = 0,6 \cdot 10^{-6}$. Предельная масса оказалась очень малой, и смещение чашки весов при этом тоже очень мало. Но это малое смещение можно сильно увеличить с помощью светового луча, отраженного от закрепленного на весах зеркала, так что малость смещения не накладывает принципиальных ограничений на возможности взвешивания. Такие ограничения накладывает тепловое движение.
