Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14746
2020-12-31 
Найти, на сколько возрастает теплоемкость вращающегося газа по сравнению с теплоемкостью неподвижного газа. Аргон с молярной массой $\mu = 40$ заполняет цилиндр радиуса $R = 2,5 см$ и вращается вокруг оси цилиндра с угловой скоростью $\omega = 2 \cdot 10^{3} с^{-1}$ при температуре $T = 300 К$.
Решение:
Найдем потенциальную энергию одной молекулы $\epsilon$ в поле центробежных сил. Используя $d \epsilon = - F dr$ и $F = rm \omega^{2}$, получим
$d \epsilon = - \frac{m \omega^{2}dr^{2} }{2}, \epsilon = m \omega^{2} \frac{a^{2} - r^{2} }{2}$.
При интегрировании принято, что при $r = a$ величина $\epsilon = 0$, так как при нулевой температуре $T = 0$ все частицы будут находиться на периферии. Для определения числа частиц $dN$ в тонком кольцевом слое единичной длины, объем которого равен $dV = 2 \pi r dr$, используем распределение Больцмана:
$dN = Ae^{ - \frac{m \omega^{2}(a^{2} - r^{2} ) }{2kT} } 2 \pi r dr$,
$dE_{N} = \frac{A}{2} m \omega^{2} ( a^{2} - r^{2} ) e^{- \frac{m \omega^{2} (a^{2} - r^{2} ) }{2kT} } 2 \pi rdr$.
Отсюда для средней энергии одной молекулы получим
$\langle \epsilon \rangle = \frac{E_{N} }{N} kT \frac{ \int_{0}^{ \beta } ye^{-y} dy }{ \int_{0}^{ \beta } e^{-y} dy } = kT \frac{1 - (1 + \beta )e^{- \beta} }{1 - e^{- \beta } }$,
где использованы обозначения:
$y = \frac{ m \omega^{2} (a^{2} - r^{2})}{2kT}$,
$\beta = \frac{m \omega^{2}a^{2} }{2kT} = \frac{40 \cdot 4 \cdot 10^{6} \cdot 6,25}{6 \cdot 10^{23} \cdot 2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-16} \cdot 300 } = 0,0201$.
Разложение при малом $\beta$ совпадает с разложением
$\frac{1 - (1 + \alpha )e^{- \alpha } }{1 - e^{- \alpha } } = \frac{ \alpha }{2} \left ( 1 - \frac{ \alpha }{6} \right )$.
по $\alpha$. Используя его, получим для одной молекулы:
$\langle \epsilon \rangle = kT \left ( \frac{ \beta }{2} - \frac{ \beta^{2} }{12} \right ) = m \omega^{2} \frac{a^{2} }{4} - \frac{(m \omega^{2} a^{2} )^{2} }{48kT}$,
$\frac{d \langle \epsilon \rangle }{dT} = \frac{1}{48} \left ( \frac{m \omega^{2}a^{2} }{kT} \right )^{2} k$.
Теплоемкость моля вращающегося газа возрастет на величину
$\Delta C = N_{A} \frac{d \langle \epsilon \rangle }{dT} = \frac{1}{48} \left ( \frac{m \omega^{2}a^{2} }{kT} \right )^{2}R = \frac{1}{12} (0,0201)^{2} \cdot 8,31 = 2,77 \cdot 10^{-4} \frac{Дж}{моль \cdot К}$
Найти, на сколько возрастает теплоемкость вращающегося газа по сравнению с теплоемкостью неподвижного газа. Аргон с молярной массой $\mu = 40$ заполняет цилиндр радиуса $R = 2,5 см$ и вращается вокруг оси цилиндра с угловой скоростью $\omega = 2 \cdot 10^{3} с^{-1}$ при температуре $T = 300 К$.
Решение:
Найдем потенциальную энергию одной молекулы $\epsilon$ в поле центробежных сил. Используя $d \epsilon = - F dr$ и $F = rm \omega^{2}$, получим
$d \epsilon = - \frac{m \omega^{2}dr^{2} }{2}, \epsilon = m \omega^{2} \frac{a^{2} - r^{2} }{2}$.
При интегрировании принято, что при $r = a$ величина $\epsilon = 0$, так как при нулевой температуре $T = 0$ все частицы будут находиться на периферии. Для определения числа частиц $dN$ в тонком кольцевом слое единичной длины, объем которого равен $dV = 2 \pi r dr$, используем распределение Больцмана:
$dN = Ae^{ - \frac{m \omega^{2}(a^{2} - r^{2} ) }{2kT} } 2 \pi r dr$,
$dE_{N} = \frac{A}{2} m \omega^{2} ( a^{2} - r^{2} ) e^{- \frac{m \omega^{2} (a^{2} - r^{2} ) }{2kT} } 2 \pi rdr$.
Отсюда для средней энергии одной молекулы получим
$\langle \epsilon \rangle = \frac{E_{N} }{N} kT \frac{ \int_{0}^{ \beta } ye^{-y} dy }{ \int_{0}^{ \beta } e^{-y} dy } = kT \frac{1 - (1 + \beta )e^{- \beta} }{1 - e^{- \beta } }$,
где использованы обозначения:
$y = \frac{ m \omega^{2} (a^{2} - r^{2})}{2kT}$,
$\beta = \frac{m \omega^{2}a^{2} }{2kT} = \frac{40 \cdot 4 \cdot 10^{6} \cdot 6,25}{6 \cdot 10^{23} \cdot 2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-16} \cdot 300 } = 0,0201$.
Разложение при малом $\beta$ совпадает с разложением
$\frac{1 - (1 + \alpha )e^{- \alpha } }{1 - e^{- \alpha } } = \frac{ \alpha }{2} \left ( 1 - \frac{ \alpha }{6} \right )$.
по $\alpha$. Используя его, получим для одной молекулы:
$\langle \epsilon \rangle = kT \left ( \frac{ \beta }{2} - \frac{ \beta^{2} }{12} \right ) = m \omega^{2} \frac{a^{2} }{4} - \frac{(m \omega^{2} a^{2} )^{2} }{48kT}$,
$\frac{d \langle \epsilon \rangle }{dT} = \frac{1}{48} \left ( \frac{m \omega^{2}a^{2} }{kT} \right )^{2} k$.
Теплоемкость моля вращающегося газа возрастет на величину
$\Delta C = N_{A} \frac{d \langle \epsilon \rangle }{dT} = \frac{1}{48} \left ( \frac{m \omega^{2}a^{2} }{kT} \right )^{2}R = \frac{1}{12} (0,0201)^{2} \cdot 8,31 = 2,77 \cdot 10^{-4} \frac{Дж}{моль \cdot К}$
