Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14745
2020-12-31 
Найти среднюю потенциальную энергию $\langle \epsilon_{U} \rangle$ молекулы газа в изотермической земной атмосфере, считая поле тяжести однородным. Найти теплоемкость газа $C$ в этих условиях.
Решение:
В данном случае $\epsilon_{U} = mgz$. Потенциальная энергия молекул газа в интервале высоты $z, z + dz$. равна $mgzdN = Amgze^{ - \frac{mgz}{kT} }dz$. Потенциальная энергия всех частиц $A \int_{0}^{ \infty } mgze^{ - \frac{mgz}{kT} } dz$, количество частиц $A \int_{0}^{ \infty } e^{ - \frac{mgz}{kT} } dz$. Среднее значение энергии получим, взяв отношение этих интегралов
$\langle \epsilon_{U} \rangle = kT \frac{ \int_{0}^{ \infty} xe^{-x}dx }{ \int_{0}^{ \infty} e^{-x}dx } = kT$.
Полная энергия молекул равна сумме потенциальной и внутренней энергии
$C_{V} \frac{N}{N_{A} }T + NkT = \frac{N}{N_{A} } (C_{V} + R )T$.
Здесь $N$ - полное число молекул, $N_{A}$ - число Авогадро. Для 1-го моля получим величину теплоемкости $C = C_{V} + R = C_{p}$. Теплоемкость газа в постоянном поле тяжести оказалась равной теплоемкости при постоянном давлении. Это объясняется тем, что при нагревании газа в поле тяжести давление в каждом малом объеме, включающем одни и те же молекулы, остается неизменным, так как оно определяется весом вышележащего газа и не меняется при увеличении температуры и подъеме данного объема.
Найти среднюю потенциальную энергию $\langle \epsilon_{U} \rangle$ молекулы газа в изотермической земной атмосфере, считая поле тяжести однородным. Найти теплоемкость газа $C$ в этих условиях.
Решение:
В данном случае $\epsilon_{U} = mgz$. Потенциальная энергия молекул газа в интервале высоты $z, z + dz$. равна $mgzdN = Amgze^{ - \frac{mgz}{kT} }dz$. Потенциальная энергия всех частиц $A \int_{0}^{ \infty } mgze^{ - \frac{mgz}{kT} } dz$, количество частиц $A \int_{0}^{ \infty } e^{ - \frac{mgz}{kT} } dz$. Среднее значение энергии получим, взяв отношение этих интегралов
$\langle \epsilon_{U} \rangle = kT \frac{ \int_{0}^{ \infty} xe^{-x}dx }{ \int_{0}^{ \infty} e^{-x}dx } = kT$.
Полная энергия молекул равна сумме потенциальной и внутренней энергии
$C_{V} \frac{N}{N_{A} }T + NkT = \frac{N}{N_{A} } (C_{V} + R )T$.
Здесь $N$ - полное число молекул, $N_{A}$ - число Авогадро. Для 1-го моля получим величину теплоемкости $C = C_{V} + R = C_{p}$. Теплоемкость газа в постоянном поле тяжести оказалась равной теплоемкости при постоянном давлении. Это объясняется тем, что при нагревании газа в поле тяжести давление в каждом малом объеме, включающем одни и те же молекулы, остается неизменным, так как оно определяется весом вышележащего газа и не меняется при увеличении температуры и подъеме данного объема.
