Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14740
2020-12-27 
Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму усеченного конуса высотой $H$, если радиус нижнего основания $r$, а верхнего $R, R > r$.
Решение:
Будем считать, что элементарный слой воды, находящийся на глубине $x$, имеет форму прямого кругового цилиндра высотой $dx$ с радиусом основания $p = r + y$. Из подобия $\Delta ABC$ и $\Delta DBE$ имеем
$\frac{R - r}{H} = \frac{y}{H - x}; y = \frac{(R - r)(H - x)}{H}$.
Следовательно,
$p = r + \frac{(R - r)(H - x)}{H} = R + \frac{R - r}{H}x$.
Тогда объем элементарного слоя будет равен
$dV = \pi \left ( R + \frac{R - r}{H}x \right )^{2}dx = \pi \left ( R^{2} + \frac{2R}{H}(R -r)x + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2}x^{2} \right )dx$.
Элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя на высоту $x$, равна $dA = \rho gx \pi \left ( R + \frac{R - r}{H} x \right )^{2} dx$, где $\rho = 1$ - плотность воды; $g$ - гравитационная постоянная. Следовательно,
$A = \int_{0}^{H} \rho g \pi x \left ( R + \frac{R - r}{H}x \right )^{2} dx = \rho g \pi \int_{0}^{H} \left ( R^{2}x + \frac{2(R - r)}{H}x^{2} + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2} x^{3} \right ) dx = \rho g \pi \left . \left ( \frac{R^{2}x^{2} }{2} + \frac{2(R - r)}{H} \frac{x^{3} }{3} + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2} \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{H} = \rho g \pi \left ( \frac{R^{2}H^{2} }{2} + \frac{2(R - r)}{H} \frac{H^{3} }{3} + \frac{(R - r)^{2} }{H^{2} } \frac{H^{4} }{4} \right ) = \rho g \pi H^{2} \left ( \frac{R^{2} }{2} + \frac{2}{3} (R - r) + \frac{1}{4} (R - r)^{2} \right ) = \rho g \pi H^{2} \left ( \frac{3}{4} R^{2} + \frac{2}{3}R - \frac{2}{3}r - \frac{Rr}{2} + \frac{r^{2} }{2} \right )$. (ед.раб.).
Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму усеченного конуса высотой $H$, если радиус нижнего основания $r$, а верхнего $R, R > r$.
Решение:
Будем считать, что элементарный слой воды, находящийся на глубине $x$, имеет форму прямого кругового цилиндра высотой $dx$ с радиусом основания $p = r + y$. Из подобия $\Delta ABC$ и $\Delta DBE$ имеем
$\frac{R - r}{H} = \frac{y}{H - x}; y = \frac{(R - r)(H - x)}{H}$.
Следовательно,
$p = r + \frac{(R - r)(H - x)}{H} = R + \frac{R - r}{H}x$.
Тогда объем элементарного слоя будет равен
$dV = \pi \left ( R + \frac{R - r}{H}x \right )^{2}dx = \pi \left ( R^{2} + \frac{2R}{H}(R -r)x + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2}x^{2} \right )dx$.
Элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя на высоту $x$, равна $dA = \rho gx \pi \left ( R + \frac{R - r}{H} x \right )^{2} dx$, где $\rho = 1$ - плотность воды; $g$ - гравитационная постоянная. Следовательно,
$A = \int_{0}^{H} \rho g \pi x \left ( R + \frac{R - r}{H}x \right )^{2} dx = \rho g \pi \int_{0}^{H} \left ( R^{2}x + \frac{2(R - r)}{H}x^{2} + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2} x^{3} \right ) dx = \rho g \pi \left . \left ( \frac{R^{2}x^{2} }{2} + \frac{2(R - r)}{H} \frac{x^{3} }{3} + \left ( \frac{R - r}{H} \right )^{2} \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{H} = \rho g \pi \left ( \frac{R^{2}H^{2} }{2} + \frac{2(R - r)}{H} \frac{H^{3} }{3} + \frac{(R - r)^{2} }{H^{2} } \frac{H^{4} }{4} \right ) = \rho g \pi H^{2} \left ( \frac{R^{2} }{2} + \frac{2}{3} (R - r) + \frac{1}{4} (R - r)^{2} \right ) = \rho g \pi H^{2} \left ( \frac{3}{4} R^{2} + \frac{2}{3}R - \frac{2}{3}r - \frac{Rr}{2} + \frac{r^{2} }{2} \right )$. (ед.раб.).
