Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14739
2020-12-27 
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз. Высота конуса $h$, радиус основания $R$.
Решение:
Работа $A$, затрачиваемая на поднятие некоторого тела, зависит от высоты $x$ его подъема и веса тела $P$. $A = Px$. Допустим, что работа, затраченная на выкачивание слоя воды толщиной $x$, есть некоторая функция $A(x)$, найдем дифференциал этой функции. При увеличении $x$ на величину $dx$ объем слоя воды увеличится на $\Delta V \approx \pi r^{2} dx$, а его вес $\Delta p = \pi \delta r^{2} dx$. Следовательно, затраченная работа увеличится на $\Delta A \approx \pi \delta r^{2} xdx = dA$, где $x \in [0,h]$. Искомая работа $A = \int_{0}^{h} \pi \delta r^{2} xdx$.
Найдем $r$ из подобия треугольников АОС и AQN
$\frac{R}{r} = \frac{h}{h - x}; r = \frac{R(h - x) }{h}$.
Тогда $A = \pi \delta \int_{0}^{h} \frac{R^{2}(h - x)^{2} }{h^{2} } xdx = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \int_{0}^{h} (h^{2}x - 2hx^{2} + x^{3} )dx = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \left . \left ( h^{2} \frac{x^{2} }{2} - \frac{2}{3}hx^{3} + \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{h} = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \left ( \frac{h^{4} }{2} - \frac{2}{3}h^{4} + \frac{1}{4}h^{4} \right ) = \frac{ \pi R^{2} }{12} h^{2}$ (ед.раб.) .
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз. Высота конуса $h$, радиус основания $R$.
Решение:
Работа $A$, затрачиваемая на поднятие некоторого тела, зависит от высоты $x$ его подъема и веса тела $P$. $A = Px$. Допустим, что работа, затраченная на выкачивание слоя воды толщиной $x$, есть некоторая функция $A(x)$, найдем дифференциал этой функции. При увеличении $x$ на величину $dx$ объем слоя воды увеличится на $\Delta V \approx \pi r^{2} dx$, а его вес $\Delta p = \pi \delta r^{2} dx$. Следовательно, затраченная работа увеличится на $\Delta A \approx \pi \delta r^{2} xdx = dA$, где $x \in [0,h]$. Искомая работа $A = \int_{0}^{h} \pi \delta r^{2} xdx$.
Найдем $r$ из подобия треугольников АОС и AQN
$\frac{R}{r} = \frac{h}{h - x}; r = \frac{R(h - x) }{h}$.
Тогда $A = \pi \delta \int_{0}^{h} \frac{R^{2}(h - x)^{2} }{h^{2} } xdx = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \int_{0}^{h} (h^{2}x - 2hx^{2} + x^{3} )dx = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \left . \left ( h^{2} \frac{x^{2} }{2} - \frac{2}{3}hx^{3} + \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{h} = \pi \delta \frac{R^{2} }{h^{2} } \left ( \frac{h^{4} }{2} - \frac{2}{3}h^{4} + \frac{1}{4}h^{4} \right ) = \frac{ \pi R^{2} }{12} h^{2}$ (ед.раб.) .
