Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14736
2020-12-27 
Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основания 4 м наполнен водой. За какое время вода вытечет из него через круглое отверстие радиуса $\frac{1}{12}$ м, сделанное в дне резервуара?
Решение:
Скорость истечения жидкости по закону Бернулли выражается формулой $V = \sigma \sqrt{2gx}$, причем для воды $\sigma \approx 0,6$.
Пусть через $t$ сек после истечения воды уровень оставшейся воды в резервуаре был равен $x$ м, а за время $dt$ сек понизился на $dx$ м. Вычислим объем воды, вытекающей за этот бесконечно малый промежуток времени $dt$, двумя способами.
Во-первых, этот объем $dW$ равен объему цилиндрического слоя высотой $dx$ и радиусом основания $r$ ($r = 2$ м). Таким образом, $dW = \pi r^{2} dx$.
Во-вторых, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне резервуара $\rho = \frac{1}{12}$ м, а высота равна $Vdt$, где $V$ - скорость истечения воды, т.е.
$dW = \pi \rho^{2} V^{2} dt = 0,6 \pi \rho^{2} \sqrt{2gx} dt$.
Приравнивая полученные выражения, получим
$0,6 \pi \rho^{2} \sqrt{gx} dt = \pi r^{2}dx$.
Отсюда $dt = \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2gx} }dx$, где $x \in [0;б]$.
Интегрируя это равенство, получим время истечения воды
$t = \int_{0}^{6} \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2g} } \frac{dx}{ \sqrt{x} } = \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2g} } \left . 2 \sqrt{x} \right |_{0}^{6} = \frac{10}{ \sqrt{3g} } \frac{r^{2} }{ \rho^{2} }$.
Используя данные задачи: $r = 2$ м, $\rho = \frac{1}{12}$ м, $n = 9,8 м/сек^{2}$, получаем $t \approx 1062 сек. = 17,7 мин$.
Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основания 4 м наполнен водой. За какое время вода вытечет из него через круглое отверстие радиуса $\frac{1}{12}$ м, сделанное в дне резервуара?
Решение:
Скорость истечения жидкости по закону Бернулли выражается формулой $V = \sigma \sqrt{2gx}$, причем для воды $\sigma \approx 0,6$.
Пусть через $t$ сек после истечения воды уровень оставшейся воды в резервуаре был равен $x$ м, а за время $dt$ сек понизился на $dx$ м. Вычислим объем воды, вытекающей за этот бесконечно малый промежуток времени $dt$, двумя способами.
Во-первых, этот объем $dW$ равен объему цилиндрического слоя высотой $dx$ и радиусом основания $r$ ($r = 2$ м). Таким образом, $dW = \pi r^{2} dx$.
Во-вторых, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне резервуара $\rho = \frac{1}{12}$ м, а высота равна $Vdt$, где $V$ - скорость истечения воды, т.е.
$dW = \pi \rho^{2} V^{2} dt = 0,6 \pi \rho^{2} \sqrt{2gx} dt$.
Приравнивая полученные выражения, получим
$0,6 \pi \rho^{2} \sqrt{gx} dt = \pi r^{2}dx$.
Отсюда $dt = \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2gx} }dx$, где $x \in [0;б]$.
Интегрируя это равенство, получим время истечения воды
$t = \int_{0}^{6} \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2g} } \frac{dx}{ \sqrt{x} } = \frac{r^{2} }{0,6 \rho^{2} \sqrt{2g} } \left . 2 \sqrt{x} \right |_{0}^{6} = \frac{10}{ \sqrt{3g} } \frac{r^{2} }{ \rho^{2} }$.
Используя данные задачи: $r = 2$ м, $\rho = \frac{1}{12}$ м, $n = 9,8 м/сек^{2}$, получаем $t \approx 1062 сек. = 17,7 мин$.
