2020-12-27
Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиусом $R$, вращающийся с угловой скоростью $\omega$ вокруг своего диаметра?
Решение:
Работа в данном случае равна кинетической энергии шара $\left ( \frac{mV^{2} }{2} \right )$. Для подсчета энергии разобьём шар на концентрические полые цилиндры толщиной $dx$ и радиуса $x$. Скорость точек такого цилиндра равна $\omega x$. Дифференциал объема $dV = 4 \pi \cdot x \sqrt{R^{2} - x^{2} }dx$, дифференциал массы $dm = \gamma dV$, где $\gamma$ - плотность железа; дифференциал кинетической энергии $dK = 2 \pi \gamma \omega^{2} x^{3} \sqrt{R^{2} - x^{2} }dx$. Отсюда
$K = 2 \pi \gamma \omega^{2} \int_{0}^{R} x^{3} \sqrt{R^{2} - x^{2} } dx = \frac{4 \pi \gamma R^{3} }{3} \frac{ \omega^{2}R^{2} }{5} = m \frac{ \omega^{2}R^{2} }{5}$.