Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14733
2020-12-27 
Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму полушара радиуса $R$.
Решение:
Так как сила, которую надо прикладывать к каждой частице при ее поднятии, равна весу частицы, то работа по поднятию одной частицы равна произведению массы частицы на глубину ее погружения. Рассмотрим слой воды шириной $dx$, находящийся на глубине $x$ от поверхности воды.
Элементарная работа по поднятию этого слоя выразится $dA = \gamma \pi y^{2} dx \cdot x$, где $\gamma = 1$ - плотность воды: $y^{2} = R^{2} - x^{2}$; $\pi \cdot y^{2} dx$ - объем элементарного слоя: $\gamma \pi y^{2} dx$ - масса слоя.
Так как $x$ меняется от 0 до $R$, то вся работа
$A = \int_{0}^{R} \pi (R^{2} - x^{2} ) xdx = \pi \left . \left ( \frac{R^{2}x^{2} }{2} - \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{R} = \pi \left ( \frac{R^{4} }{2} - \frac{R^{4} }{4} \right ) = \frac{ \pi R^{4} }{4}$ (ед.раб.).
Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму полушара радиуса $R$.
Решение:
Так как сила, которую надо прикладывать к каждой частице при ее поднятии, равна весу частицы, то работа по поднятию одной частицы равна произведению массы частицы на глубину ее погружения. Рассмотрим слой воды шириной $dx$, находящийся на глубине $x$ от поверхности воды.
Элементарная работа по поднятию этого слоя выразится $dA = \gamma \pi y^{2} dx \cdot x$, где $\gamma = 1$ - плотность воды: $y^{2} = R^{2} - x^{2}$; $\pi \cdot y^{2} dx$ - объем элементарного слоя: $\gamma \pi y^{2} dx$ - масса слоя.
Так как $x$ меняется от 0 до $R$, то вся работа
$A = \int_{0}^{R} \pi (R^{2} - x^{2} ) xdx = \pi \left . \left ( \frac{R^{2}x^{2} }{2} - \frac{x^{4} }{4} \right ) \right |_{0}^{R} = \pi \left ( \frac{R^{4} }{2} - \frac{R^{4} }{4} \right ) = \frac{ \pi R^{4} }{4}$ (ед.раб.).
