ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-25   
За сколько качаний поршневым насосом с рабочим объемом $V$ можно откачать сосуд объемом $V_{0}$ от давления $P_{0}$ до $P$?


Решение:



Рассмотрим изменение давления газа в рабочем объеме в результате первого качка.

Имеется два состояния газа: поршень в положении 1 (при этом давление газа $P_{0}$, объем $V_{0}$) и поршень в положении 2 (при этом давление газа $P_{1}$, объем $V_{0} + V$).

Поскольку температура газа предполагается постоянной, воспользуемся законом Бойля—Мариотта:

$P_{0}V_{0} = P_{1} (V_{0} + V)$

или

$P_{1} = P_{0} \frac{V_{0}}{V_{0} + V}$. (1)

После выброса объема газа $V$ в окружающее пространство и возвращения поршня в исходное положение 1 (для этого в насосе предусмотрено специальное устройство), повторяя в точности предыдущие выкладки, получим давление в рабочем объеме после второго качка:

$P_{2} = P_{1} \frac{V_{0}}{V+V_{0}}$ (2)

или с учетом (1):

$P_{2} = P_{0} \left ( \frac{V_{0}}{V_{0} + V} \right )^{2}$. (3)

После $n$ качаний давление в сосуде будет, очевидно, равно:

$P_{n} = P_{0} \left ( \frac{V_{0}}{V_{0}+V} \right )^{n}$. (4)

Полагая, что именно после $n$ качаний давление в сосуде станет равным $P$, то есть $P_{n} = P$, из (4) находим:

$P = P_{0} \left ( \frac{V_{0}}{V_{0}+V} \right )^{n}$

Отсюда, по определению логарифма:

$n = log_{ \frac{V_{0}+V}{V}} \left ( \frac{P_{0}}{P} \right )$,

$\frac{V{0}+V}{V}$ — основание логарифма.