Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14724
2020-12-26 
Маятник (стальной шарик на нити) довольно быстро останавливается. Под стальной шарик положили магнит. Период уменьшился. Почему увеличивается время затухания, и плоскость колебаний меняется?
Решение:
Вот первое приближение к полному ответу (который очень сложен и зависит от таких вещей, как форма и размеры магнита, размер шарика и его расстояние от магнита и от неоднородности намагниченности магнита).
Как Вы наверно знаете, возвращающая сила, действующая на шарик идеального маятника, пропорциональна его отклонению от положения равновесия. Именно по этой причине период колебаний не зависит от их размаха. Сила взаимодействия реального магнита с шариком очень сложным нелинейным образом зависит от отклонения шарика от положения равновесия. Но можно показать, что при малых отклонениях маятника от равновесия и не очень малом (по сравнению с размером магнита) расстоянии от магнита до шарика взаимодействие с магнитом можно рассматривать просто как увеличение силы тяжести. Поэтому рассмотрим, как зависит добротность колебаний маятника от силы тяжести (добротность - это отношение полной энергии маятника к потерям энергии за период колебания).
Будем опускать все постоянные коэффициенты в формулах такие как $2 \pi$, коэффициент вязкости воздуха, масса шарика и так далее..., поэтому в наших формулах всюду стоит не знак равенства =, а знак пропорциональности $\sim$.
Итак, как известно период колебаний маятника определяется выражением:
$T \sim \sqrt{ \frac{l}{g} }$, (1)
Где $l$ - длина маятника, $g$ - ускорение свободного падения.
Тогда скорость маятника при амплитуде колебания $A$
$v \sim \frac{A}{T} \sim A \sqrt{ \frac{g}{l} }$. (2)
Если колебания малы, а период велик, то скорость мала и сила трения шарика об воздух пропорциональна скорости шарика:
$F_{тр} \sim v$. (3)
Тогда потери на трение за период колебания (работа = сила на путь)
$P \sim F_{тр}A$. (4)
Но мы помним, что скорость пропорциональна $A$. Тогда с учетом (2) и (3) получим:
$P \sim \sqrt{ \frac{g}{l} }A^{2}$. (5)
Энергия маятника (потенциальная энергия при полном отклонения на расстояние $A$ от положения равновесия)
$E \sim gh$. (6)
Это просто привычное $mgh$ ($m$ опустили, т.к. это константа), а $h$ - разность в высотах шарика в положении равновесия и при максимальном отклонении $A$. Простое геометрическое упражнение позволяет убедиться, что:
$h \sim \frac{A^{2} }{l}$. (7)
Подставляя (7) в (6), получим
$E \sim \frac{g}{l}A^{2}$. (8)
Тогда добротность (характерное число периодов за которое затухают колебания)
$Q \sim \frac{E}{P} \sim \sqrt{ \frac{g}{l} }$. (9)
Итак, мы видим, что эффективное увеличение силы тяжести, которое возникает при взаимодействии шарика с магнитом, приводит к увеличению добротности колебаний. В результате число колебаний маятника до затухания увеличивается пропорционально корню квадратному из эффективного ускорения свободного падения.
Но забавно, что время затухания при этом осталось прежним (!):
$T_{затух} \sim TQ = const$.
Однако в реальной геометрии опыта нельзя пренебрегать нелинейными членами в представлении возвращающей силы. Они велики! И с учетом нелинейности возвращающей силы ($F = ax + bx^{3} + \cdots$) оказывается, что время затухания меняется при взаимодействии с магнитом.
Что касается изменения плоскости колебаний, то это тоже объясняется нелинейностью колебаний. Обычный маятник при колебаниях описывает эллипс (реальное колебание можно рассматривать как сумму двух независимых колебаний в ортогональных направлениях). Но для нелинейного маятника это уже не так. Даже если ось магнита совпадает с направлением нити маятника в положении равновесия (т.е. имеется полная осевая симметрия), то траектория маятника - по-прежнему эллипс, но ось эллипса вращается и, в результате, траектория маятника - розетка. Отсутствие осевой симметрии магнита и неоднородность его намагниченности еще более усложняют движение маятника.
Маятник (стальной шарик на нити) довольно быстро останавливается. Под стальной шарик положили магнит. Период уменьшился. Почему увеличивается время затухания, и плоскость колебаний меняется?
Решение:
Вот первое приближение к полному ответу (который очень сложен и зависит от таких вещей, как форма и размеры магнита, размер шарика и его расстояние от магнита и от неоднородности намагниченности магнита).
Как Вы наверно знаете, возвращающая сила, действующая на шарик идеального маятника, пропорциональна его отклонению от положения равновесия. Именно по этой причине период колебаний не зависит от их размаха. Сила взаимодействия реального магнита с шариком очень сложным нелинейным образом зависит от отклонения шарика от положения равновесия. Но можно показать, что при малых отклонениях маятника от равновесия и не очень малом (по сравнению с размером магнита) расстоянии от магнита до шарика взаимодействие с магнитом можно рассматривать просто как увеличение силы тяжести. Поэтому рассмотрим, как зависит добротность колебаний маятника от силы тяжести (добротность - это отношение полной энергии маятника к потерям энергии за период колебания).
Будем опускать все постоянные коэффициенты в формулах такие как $2 \pi$, коэффициент вязкости воздуха, масса шарика и так далее..., поэтому в наших формулах всюду стоит не знак равенства =, а знак пропорциональности $\sim$.
Итак, как известно период колебаний маятника определяется выражением:
$T \sim \sqrt{ \frac{l}{g} }$, (1)
Где $l$ - длина маятника, $g$ - ускорение свободного падения.
Тогда скорость маятника при амплитуде колебания $A$
$v \sim \frac{A}{T} \sim A \sqrt{ \frac{g}{l} }$. (2)
Если колебания малы, а период велик, то скорость мала и сила трения шарика об воздух пропорциональна скорости шарика:
$F_{тр} \sim v$. (3)
Тогда потери на трение за период колебания (работа = сила на путь)
$P \sim F_{тр}A$. (4)
Но мы помним, что скорость пропорциональна $A$. Тогда с учетом (2) и (3) получим:
$P \sim \sqrt{ \frac{g}{l} }A^{2}$. (5)
Энергия маятника (потенциальная энергия при полном отклонения на расстояние $A$ от положения равновесия)
$E \sim gh$. (6)
Это просто привычное $mgh$ ($m$ опустили, т.к. это константа), а $h$ - разность в высотах шарика в положении равновесия и при максимальном отклонении $A$. Простое геометрическое упражнение позволяет убедиться, что:
$h \sim \frac{A^{2} }{l}$. (7)
Подставляя (7) в (6), получим
$E \sim \frac{g}{l}A^{2}$. (8)
Тогда добротность (характерное число периодов за которое затухают колебания)
$Q \sim \frac{E}{P} \sim \sqrt{ \frac{g}{l} }$. (9)
Итак, мы видим, что эффективное увеличение силы тяжести, которое возникает при взаимодействии шарика с магнитом, приводит к увеличению добротности колебаний. В результате число колебаний маятника до затухания увеличивается пропорционально корню квадратному из эффективного ускорения свободного падения.
Но забавно, что время затухания при этом осталось прежним (!):
$T_{затух} \sim TQ = const$.
Однако в реальной геометрии опыта нельзя пренебрегать нелинейными членами в представлении возвращающей силы. Они велики! И с учетом нелинейности возвращающей силы ($F = ax + bx^{3} + \cdots$) оказывается, что время затухания меняется при взаимодействии с магнитом.
Что касается изменения плоскости колебаний, то это тоже объясняется нелинейностью колебаний. Обычный маятник при колебаниях описывает эллипс (реальное колебание можно рассматривать как сумму двух независимых колебаний в ортогональных направлениях). Но для нелинейного маятника это уже не так. Даже если ось магнита совпадает с направлением нити маятника в положении равновесия (т.е. имеется полная осевая симметрия), то траектория маятника - по-прежнему эллипс, но ось эллипса вращается и, в результате, траектория маятника - розетка. Отсутствие осевой симметрии магнита и неоднородность его намагниченности еще более усложняют движение маятника.
