Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14718
2020-12-26 
Простейшая конструкция прибора для измерения параметров вибраций, которая, кстати, применяется и в сейсмографах, представляет собой массу, присоединённую к вертикальной пружине. Перемещение массы вызывает изменение одной из электрических величин: сопротивления, ёмкости, индуктивности, ЭДС индукции и т.п., которые включаются в схемы регистрации.
Пусть виброметр представляет собой пружину жёсткостью $k = 1 кН/м$ с присоединенной массой $m = 10 кг$. Прибор для калибровки поместили на рабочий стол, совершающий колебания в соответствие с уравнением: $\xi = a \sin \Omega t$, где $a = 5 мм$ - амплитуда колебаний рабочего стола, $\Omega = 16 \pi с^{-1}$ - частота колебаний стола вибростенда. Записать уравнение колебаний скользящего контакта относительно сопротивления $R$.
Решение:
Предположим, что в начальный момент времени масса находится в покое в положении статического равновесия. Ось х, вдоль которой происходит движение, направлена вертикально вниз, т. е. совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начальные условия задачи в этом случае можно записать следующим образом:
при $t = 0$ $x = x_{0} = 0, \dot{x} = \dot{x}_{0} = 0$. (1)
В неподвижном состоянии основания виброметра упругий элемент имеет удлинение равное $\Delta_{st} + x$. При смещении основания виброметра полное удлинение пружины составит
$\Delta x = \Delta_{st} + x - \xi$, (2)
где $\xi$ - смещение корпуса прибора совместно с рабочим столом вибростенда.
К массе приложены две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз и сила упругости пружины, направленная, в связи с удлинением, вертикально вверх
$F_{k} = - k \Delta_{x} = - k( \Delta_{st} + x - \xi )$. (3)
Дифференциальное уравнение движения будет иметь традиционный вид второго закона Ньютона
$m \ddot{x} = mg - l \Delta_{x}$, (4)
$m \ddot{x} = mg - k \Delta_{st} - kx + k \xi$. (5)
В положении статического равновесия $x = \ddot{x} = \xi = 0$, то можно считать, что $mg - k \Delta_{st} = 0$, при этом дифференциальное уравнение движения примет вид
$m \ddot{x} = - kx + k \xi$. (6)
$m \ddot{x} + kx = ka \sin \Omega t$, (7)
$\ddot{x} + \omega^{2}x = f \sin \Omega t$, (8)
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } = 10 с^{-1}$ - циклическая частота собственных колебаний, $f = \frac{ka}{m} = 0,5 м \cdot с^{2}$ - значение приведенной внешней силы.
Решение уравнения (8) представляет собой сумму решений однородного уравнения и частного решения
$x(t) = C_{1} \cos \omega t + C_{2} \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin ( \Omega t + \delta )$, (9)
$x(t) = C_{1} \cos \omega t + C_{2} \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$, (10)
Для определения постоянных интегрирования вычислим производную по времени уравнения (10)
$\dot{x}(t)= - C_{1} \omega \sin \omega t + C_{2} \omega \cos \omega t + \frac{f \Omega}{ \omega^{2} - \Omega^{2} }$. (11)
Подставляя в уравнения (10) и (11) начальные условия из соотношений (1), получим
$C_{1} = 0; C_{2} = - \frac{ \Omega }{ \omega } \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} }$. (12)
Уравнение движения контакта, соединённого с массой представится с учётом значений постоянных интегрирования следующим образом
$x(t) = - \frac{ \Omega }{ \omega } \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$. (13)
Подставим в уравнение (13) заданные значения величин
$x(t) = 10^{-3} \sin 10t - 2 \cdot 10^{-4} \sin \pi t$. (14)
С чётом силы сопротивления, которая пропорциональна скорости движения свободные колебания, определяемые первым слагаемым уравнений (13) и (14) быстро затухнут, масса будет совершать только вынужденные колебания
$x_{2}(t) = \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$, (15)
$x_{2}(t)= 2 \cdot 10^{-4} \sin \pi t$. (16)
Простейшая конструкция прибора для измерения параметров вибраций, которая, кстати, применяется и в сейсмографах, представляет собой массу, присоединённую к вертикальной пружине. Перемещение массы вызывает изменение одной из электрических величин: сопротивления, ёмкости, индуктивности, ЭДС индукции и т.п., которые включаются в схемы регистрации.
Пусть виброметр представляет собой пружину жёсткостью $k = 1 кН/м$ с присоединенной массой $m = 10 кг$. Прибор для калибровки поместили на рабочий стол, совершающий колебания в соответствие с уравнением: $\xi = a \sin \Omega t$, где $a = 5 мм$ - амплитуда колебаний рабочего стола, $\Omega = 16 \pi с^{-1}$ - частота колебаний стола вибростенда. Записать уравнение колебаний скользящего контакта относительно сопротивления $R$.
Решение:
Предположим, что в начальный момент времени масса находится в покое в положении статического равновесия. Ось х, вдоль которой происходит движение, направлена вертикально вниз, т. е. совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начальные условия задачи в этом случае можно записать следующим образом:
при $t = 0$ $x = x_{0} = 0, \dot{x} = \dot{x}_{0} = 0$. (1)
В неподвижном состоянии основания виброметра упругий элемент имеет удлинение равное $\Delta_{st} + x$. При смещении основания виброметра полное удлинение пружины составит
$\Delta x = \Delta_{st} + x - \xi$, (2)
где $\xi$ - смещение корпуса прибора совместно с рабочим столом вибростенда.
К массе приложены две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз и сила упругости пружины, направленная, в связи с удлинением, вертикально вверх
$F_{k} = - k \Delta_{x} = - k( \Delta_{st} + x - \xi )$. (3)
Дифференциальное уравнение движения будет иметь традиционный вид второго закона Ньютона
$m \ddot{x} = mg - l \Delta_{x}$, (4)
$m \ddot{x} = mg - k \Delta_{st} - kx + k \xi$. (5)
В положении статического равновесия $x = \ddot{x} = \xi = 0$, то можно считать, что $mg - k \Delta_{st} = 0$, при этом дифференциальное уравнение движения примет вид
$m \ddot{x} = - kx + k \xi$. (6)
$m \ddot{x} + kx = ka \sin \Omega t$, (7)
$\ddot{x} + \omega^{2}x = f \sin \Omega t$, (8)
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } = 10 с^{-1}$ - циклическая частота собственных колебаний, $f = \frac{ka}{m} = 0,5 м \cdot с^{2}$ - значение приведенной внешней силы.
Решение уравнения (8) представляет собой сумму решений однородного уравнения и частного решения
$x(t) = C_{1} \cos \omega t + C_{2} \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin ( \Omega t + \delta )$, (9)
$x(t) = C_{1} \cos \omega t + C_{2} \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$, (10)
Для определения постоянных интегрирования вычислим производную по времени уравнения (10)
$\dot{x}(t)= - C_{1} \omega \sin \omega t + C_{2} \omega \cos \omega t + \frac{f \Omega}{ \omega^{2} - \Omega^{2} }$. (11)
Подставляя в уравнения (10) и (11) начальные условия из соотношений (1), получим
$C_{1} = 0; C_{2} = - \frac{ \Omega }{ \omega } \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} }$. (12)
Уравнение движения контакта, соединённого с массой представится с учётом значений постоянных интегрирования следующим образом
$x(t) = - \frac{ \Omega }{ \omega } \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \omega t + \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$. (13)
Подставим в уравнение (13) заданные значения величин
$x(t) = 10^{-3} \sin 10t - 2 \cdot 10^{-4} \sin \pi t$. (14)
С чётом силы сопротивления, которая пропорциональна скорости движения свободные колебания, определяемые первым слагаемым уравнений (13) и (14) быстро затухнут, масса будет совершать только вынужденные колебания
$x_{2}(t) = \frac{f}{ \omega^{2} - \Omega^{2} } \sin \Omega t$, (15)
$x_{2}(t)= 2 \cdot 10^{-4} \sin \pi t$. (16)
