2020-12-26
Модель крыла самолёта или рулей глубины подводной лодки или торпеды можно представить в виде жёсткой пластинки с шарнирным закреплением одного конца и подпружиненным вторым концом. Пластинка обтекается потоком газа или жидкости со скоростью $v$, направленной вдоль пластины. Определить критическое значение скорости, соответствующее потере устойчивости пластинкой, т.е. возникновению колебаний.
Решение:
При отклонении пластинки от горизонтального положения статического равновесия, когда на неё действует сила тяжести и реакции опор, возникают силы, обусловленные гидродинамическими давлениями. Главный вектор этих сил, приложенных в сечении пластинки, отстоящем на расстоянии $b$ от упругой опоры
$\begin{cases} F_{X} = c_{X} \frac{ \rho v^{2} }{2} l \phi; \\ F_{Y} = c_{Y} \frac{ \rho v^{2} }{2} l \phi, \end{cases}$ (1)
где $c_{X}, c_{Y}$ - постоянные коэффициенты, $\rho$ - плотность жидкости или газа, $\phi$ - угол отклонения пластинки, $l$ - длина пластинки.
Момент сил относительно шарнирного закрепления
$M_{0}( \vec{F} ) = - kl^{2} \phi + F_{X}b \phi + F_{Y}b$, (2)
$M_{0}( \vec{F} ) = - kl^{2} \phi + c_{X} \frac{ \rho v^{2} }{2} bl \phi^{2} + c_{Y} \frac{ \rho v^{2} }{2} bl \phi$. (3)
Дифференциальное уравнение движения
$J_{0} \ddot{ \phi } + \left ( kl - c_{Y} \frac{ \rho v^{2} }{2} b \right ) l \phi = 0$. (4)
Условие устойчивости
$kl - c_{Y} \frac{ \rho v^{2} }{2}b > 0 \Rightarrow v_{cr} = \sqrt{ \frac{2k}{c_{Y} \rho b } }$. (5)