2020-12-26
Найти циклическую частоту собственных колебаний механической системы, состоящей из балки длиной $2l$ с грузом на конце массой $m = 1 кг$. Второй конец балки закреплён шарнирно, в своей средней части балка опирается на пружину с $k =36 Н/м$.
Решение:
В положении равновесия пружина под действием веса груза деформируется на величину $l \phi_{0}$, т.е. на середину балки действует сила упругости
$F_{k(0)} = kl \phi_{0}$. (1)
Уравнение моментов относительно центра шарнирной опоры позволяет определить величину $\phi_{0}$
$mg \cdot 2l - kl \phi_{0} \cdot l = 0 \Rightarrow \phi_{0} = \frac{2mg}{kl}$. (2)
Предположим далее, что после сообщения грузу импульса угол отклонения балки составит $\phi + \phi_{0}$, что обеспечит действие со стороны пружины силы
$F_{k} = kl( \phi_{0} + \phi )$. (3)
Уравнение вращательного движения балки относительно шарнира будет иметь следующий вид
$mgl - \frac{kl ( \phi + \phi_{0} )l }{2} = m2l^{2} \frac{d^{2} }{dt^{2} } ( \phi_{0} + \phi )$, (4)
$2mgl - kl^{2} ( \phi_{0} + \phi ) = 4ml^{2} \frac{d^{2} }{dt^{2} } ( \phi_{0} + \phi )$, (5)
$2mgl - kl^{2} ( \phi_{0} + \phi ) = J_{x} \omega^{2}$. (6)
Приведённая масса системы, таким образом, определяется как
$\mu = 4m$. (7)
Циклическая частота собственных колебаний
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{4m} } = \sqrt{ \frac{36}{4} } = 3 рад/с$. (8)