2020-12-26
Определить собственную частоту колебаний системы, состоящей из упруго закреплённой горизонтальной рейки А, которая лежит на подпружиненном цилиндре В и катке С. Массы рейки $m_{1} = 1 кг$ и цилиндра $m_{2} = 0,5 кг$, жёсткости пружин: $k_{1} = 20 Н/м, k_{2} = 10 Н/м$, радиус качения цилиндра составляет $r = 0,2 м$. Расстояние от точки крепления вертикальной пружины до оси цилиндра $l = 0,22 м$.
Решение:
Рассматриваемая в задаче колебательная система имеет одну степень свободы, поэтому положение любой движущейся точки, принадлежащей системе, можно однозначно охарактеризовать одной обобщённой координатой, в качестве которой целесообразно взять линейное перемещение рейки с началом системы отсчёта в положении статического равновесия.
При перемещении рейки на расстояние х каток поворачивается на угол $\phi = \frac{x}{r}$.
Запишем уравнение кинетической энергии колебательной системы
$K = \frac{m_{1} \dot{x}^{2} }{2} + \frac{1}{2} J_{2} \dot{ \phi }^{2}$. (2)
Подставим в уравнение кинетической энергии значение момента инерции цилиндра и его угловой скорости
$J_{2} = \frac{m_{2}r^{2} }{2}; \dot{ \phi } = \frac{ \dot{ x} }{r}$. (3)
$K = \frac{m \dot{x}^{2} }{2} + \frac{m_{2} \dot{x}^{2} }{4} = \frac{1}{2} \left ( m_{1} + \frac{m_{2} }{2} \right ) \dot{x}^{2}$. (4)
Из уравнения (4) определим приведённую массу (инерционный коэффициент)
$\mu = m_{1} + \frac{1}{2}m_{2}$. (2)
Коэффициент упругости системы определим путём анализа уравнения потенциальной энергии системы
$U = \frac{k_{1}x^{2} }{2} + \frac{k_{2} \left ( \frac{lx}{r} \right )^{2} }{2} = \frac{1}{2} \left ( k_{1} + \frac{l^{2} }{r^{2} } \right )x^{2}$. (3)
Коэффициент упругости системы, таким образом, равен
$k_{0} = k_{1} + \frac{l^{2} }{r^{2} } k_{2}$. (4)
Циклическая частота собственных колебаний системы
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{k_{0} }{ \mu } } = \sqrt{ \frac{k_{1} + \frac{l^{2} }{r^{2} } k_{2} }{ m_{1} + \frac{m_{2} }{2} } }$. (5)
Собственная частота колебаний
$\nu_{0} = \frac{1}{2 \pi } \sqrt{ \frac{k_{1} + \frac{l^{2} }{r^{2} } k_{2} }{ m_{1} + \frac{m_{2} }{2} } } = \frac{1}{6,28} \sqrt{ \frac{20 + \frac{4,8 \cdot 10^{-2} }{4 \cdot 10^{-2} } 10 }{1 + 0,25} } \simeq 4 Гц$. (6)