Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14710
2020-12-26 
Цилиндрическая катушка диаметром $D = 0,1 м$ состоит из однослойной обмотки медного провода ($\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} Ом/м$) диаметром $d = 10^{- 4} м$. По обмотке пропускают постоянный ток силой $I = 10 А$. Какое количество электричества $Q$ протечёт через обмотку при замыкании её концов?
Решение:
В начальном состоянии переключатель находится в положении 1, т.е. через обмотку протекает постоянный ток, сечение катушки пронизывает постоянный по величине и направлению магнитный поток. При переводе переключателя в положение 2 сила тока, вследствие наличия в цепи индуктивности $L$ исчезает не мгновенно, а по экспоненциальному закону
$i = Ie^{- \frac{R}{L}t }$, (1)
где $R$ - активное сопротивление, $t$ - время, в течение которого величина тока изменяется от $I$ до 0.
Количество электричества $Q$ за время $t$ определится как
$dQ = idt, Q = \int_{0}^{t}idt$. (2)
Подставим в уравнение (2) значение силы тока $i$ из уравнения (1), с учётом того, что при $I = \infty$ сила тока стремится к нулю, а при $t = 0$ сила тока составляет $I$
$dQ = \int_{0}^{ \infty } Ie^{ - \frac{R}{L}t } dt = I \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{R}{L}t }dt = I \left ( - \frac{L}{R} \right ) \left . e^{ - \frac{R}{L} t } \right |_{0}^{ \infty}$. (3)
Подставим в уравнение (3) пределы интегрирования
$Q = \frac{IL}{R}$. (4)
Запишем далее уравнения индуктивности и активного сопротивления катушки далее индуктивность катушки
$L = \mu_{0} \frac{N^{2} }{l_{s}^{2} } s_{s}l_{s} = \frac{ \mu_{0} \pi D^{2} N^{2}}{4l_{s} }$, (5)
$R = \frac{ \rho l_{0} }{s_{0} } = \frac{4 \rho l_{0} }{ \pi d^[2 }$, (6)
где $\rho$ - удельное сопротивление провода, $l_{0}$ - длина проводника, $s_{0}$ - сечение провода, $d$ - диаметр провода, $N$ - число витков соленоида, $l_{s}$ - длина обмотки, $s_{s}$ - площадь поперечного сечения катушки.
Подставим уравнения индуктивности и активного сопротивления в уравнение (4)
$Q = I_{0} \frac{ \mu_{0} N^{2} \pi D^{2} \pi d^{2} }{4 l_{s} \cdot 4 \rho l_{0} }$. (7)
Выразим длину катушки через её диаметр и число витков
$l_{s} = \pi DN$. (8)
Подставим длину катушки в уравнение (7)
$Q = \frac{ \mu_{0}N^{2} \pi D^{2}d^{2} \pi I }{16l_{s} \rho \pi DN } = \frac{ \mu_{0} \pi Dd^{2} }{16 \rho l_{s} }I$. (9)
Отношение длины катушки к числу витков равно диаметру катушки $\frac{l_{s} }{N} = D$, в этом случае уравнение (9) примет вид
$Q = \frac{ \pi \mu_{0}Dd^{2} }{16 \rho d} I = \frac{ \pi \mu_{0} }{16 \rho } Ddl$, (10)
$Q \simeq \frac{40 \cdot 10^{-7} \cdot 0,1 \cdot 10^{-4} \cdot 10 }{2,72 \cdot 10^{-7} } \simeq 1,45 мКл$. (11)
Цилиндрическая катушка диаметром $D = 0,1 м$ состоит из однослойной обмотки медного провода ($\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} Ом/м$) диаметром $d = 10^{- 4} м$. По обмотке пропускают постоянный ток силой $I = 10 А$. Какое количество электричества $Q$ протечёт через обмотку при замыкании её концов?
Решение:
В начальном состоянии переключатель находится в положении 1, т.е. через обмотку протекает постоянный ток, сечение катушки пронизывает постоянный по величине и направлению магнитный поток. При переводе переключателя в положение 2 сила тока, вследствие наличия в цепи индуктивности $L$ исчезает не мгновенно, а по экспоненциальному закону
$i = Ie^{- \frac{R}{L}t }$, (1)
где $R$ - активное сопротивление, $t$ - время, в течение которого величина тока изменяется от $I$ до 0.
Количество электричества $Q$ за время $t$ определится как
$dQ = idt, Q = \int_{0}^{t}idt$. (2)
Подставим в уравнение (2) значение силы тока $i$ из уравнения (1), с учётом того, что при $I = \infty$ сила тока стремится к нулю, а при $t = 0$ сила тока составляет $I$
$dQ = \int_{0}^{ \infty } Ie^{ - \frac{R}{L}t } dt = I \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{R}{L}t }dt = I \left ( - \frac{L}{R} \right ) \left . e^{ - \frac{R}{L} t } \right |_{0}^{ \infty}$. (3)
Подставим в уравнение (3) пределы интегрирования
$Q = \frac{IL}{R}$. (4)
Запишем далее уравнения индуктивности и активного сопротивления катушки далее индуктивность катушки
$L = \mu_{0} \frac{N^{2} }{l_{s}^{2} } s_{s}l_{s} = \frac{ \mu_{0} \pi D^{2} N^{2}}{4l_{s} }$, (5)
$R = \frac{ \rho l_{0} }{s_{0} } = \frac{4 \rho l_{0} }{ \pi d^[2 }$, (6)
где $\rho$ - удельное сопротивление провода, $l_{0}$ - длина проводника, $s_{0}$ - сечение провода, $d$ - диаметр провода, $N$ - число витков соленоида, $l_{s}$ - длина обмотки, $s_{s}$ - площадь поперечного сечения катушки.
Подставим уравнения индуктивности и активного сопротивления в уравнение (4)
$Q = I_{0} \frac{ \mu_{0} N^{2} \pi D^{2} \pi d^{2} }{4 l_{s} \cdot 4 \rho l_{0} }$. (7)
Выразим длину катушки через её диаметр и число витков
$l_{s} = \pi DN$. (8)
Подставим длину катушки в уравнение (7)
$Q = \frac{ \mu_{0}N^{2} \pi D^{2}d^{2} \pi I }{16l_{s} \rho \pi DN } = \frac{ \mu_{0} \pi Dd^{2} }{16 \rho l_{s} }I$. (9)
Отношение длины катушки к числу витков равно диаметру катушки $\frac{l_{s} }{N} = D$, в этом случае уравнение (9) примет вид
$Q = \frac{ \pi \mu_{0}Dd^{2} }{16 \rho d} I = \frac{ \pi \mu_{0} }{16 \rho } Ddl$, (10)
$Q \simeq \frac{40 \cdot 10^{-7} \cdot 0,1 \cdot 10^{-4} \cdot 10 }{2,72 \cdot 10^{-7} } \simeq 1,45 мКл$. (11)
