ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Во сколько раз $\xi$ уменьшится индукция магнитного поля в центре кольца с током, если его согнуть по диаметру под углом $\alpha = 45^{ \circ}$. Сила тока, при этом, не меняется.


Решение:



Определим магнитную индукцию поля, создаваемого плоским круговым витком с током, для чего воспользуемся законом Био - Савара - Лапласа

$d \vec{B}_{0} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi } \frac{I(d \vec{l} \times \vec{r} )}{r^{3} }$, (1)

в рассматриваемом случае $r = R$, поэтому

$d \vec{B}_{0} = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi } \frac{I( d \vec{l} \times \vec{R} )}{R^{3} } = \frac{ \mu_{0}I }{4 \pi R^{3} } dl R \sin (d \vec{l}; \vec{R} )$. (2)

Для индукции в центре кольца уравнение (2) можно записать следующим образом

$B_{0} = \frac{ \mu_{0}I }{4 \pi R^{2} } \sin ( d \vec{l}; \vec{R}) \int_{0}^{2 \pi R} dl$, (3)

так как для всех элементарных участков витка $(d \vec{l}; \vec{R} )= \frac{ \pi}{2}$, то

$B_{0} = \frac{ \mu_{0}I }{2R}$. (4)


В случае сгибания витка пополам по диаметру результирующий вектор магнитной индукции поля можно представить в виде суммы двух составляющих $\vec{B} = \vec{B}_{1} + \vec{B}_{2}$, причём

$| \vec{B}_{1} | = | \vec{B}_{2} | = \frac{1}{2} B_{0} = \frac{ \mu_{0}I }{4R}$, (5)
$B = \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + 2B_{1}B_{1} \cos 45^{ \circ} }$, (6)
$B = \frac{ \mu_{0}I }{4R} \sqrt{1 + 1 + 1,41} \simeq 0,922 \frac{ \mu_{0}I }{2R} $. (7)

Таким образом, отношение напряженностей определится соотношением

$\zeta = \frac{B}{B_{0} } \simeq 0,922$. (8)