Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14703
2020-12-26 
Обмотка катушки диаметром $d = 0,1 м$ состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину катушки $L_{min}$ при которой величина магнитной индукции в середине бесконечного соленоида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, отличается не более чем на 0,5%. Силу тока считать одинаковой.
Решение:
Допустимую ошибку будем искать в виде
$\zeta = \frac{B_{2} - B_{1} }{B_{2} }$, (1)
где $B_{1}$ - магнитная индукция поля внутри катушки конечной длины, $B_{2}$ - магнитная индукция поля внутри бесконечной катушки.
Магнитная индукция поля на оси соленоида конечной длины определяется уравнением
$B_{1} = \frac{ \mu \mu_{0} }{2} \frac{N}{L} I ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$, (2)
где $\frac{N}{L} = n$ - количество витков, приходящееся на единицу длины, с учётом этого
$B_{1} = \frac{ \mu \mu_{0} }{2} nI ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$. (3)
Для соленоида бесконечной длины уравнение (3) перепишется следующим образом
$B_{2} = \mu \mu_{0}nI$, (4)
Подставим значения $B_{1}$ и $B_{2}$ из уравнений (2) и (3) в уравнение (1)
$\zeta = \frac{ \mu \mu_{0}nI - \frac{1}{2} \mu \mu_{0} nI ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} ) }{ \mu \mu_{0} nI } = 1 - \frac{1}{2} ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$. (5)
определим величины $\cos \alpha_{1}$ и $|cos \alpha_{2}$
$\cos \alpha_{1} = \frac{L_{min} }{2 \sqrt{ \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} + \left ( \frac{L_{min} }{2} \right )^{2} } } = \frac{L_{min} }{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }$, (6)
$\cos \alpha_{2} = \sin ( \pi - \alpha ) = \frac{d}{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }$. (7)
Поскольку $\alpha_{2} = \pi - \alpha_{1}$, то $|cos \alpha_{1} = - \cos \alpha_{2}$, то
$1 - \zeta = \cos \alpha _{1} = \frac{L_{min} }{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }, (1 - \zeta)^{2} = \frac{L_{min}^{2} }{d^{2} + L_{min}^{2} }$. (8)
Подставим в уравнение (8) значение $\zeta = 5 \cdot 10^{-3}$ и $d = 0,1$
$(1 - 0,05)^{2} (0,01 + L_{min}^{2} )= L_{min}^{2}$, (9)
откуда
$L_{min} \simeq \sqrt{ \frac{9,9 \cdot 10^{-3} }{1 \cdot 10^{-2} } } \simeq 0,99 м$. (10)
Обмотка катушки диаметром $d = 0,1 м$ состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину катушки $L_{min}$ при которой величина магнитной индукции в середине бесконечного соленоида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, отличается не более чем на 0,5%. Силу тока считать одинаковой.
Решение:
Допустимую ошибку будем искать в виде
$\zeta = \frac{B_{2} - B_{1} }{B_{2} }$, (1)
где $B_{1}$ - магнитная индукция поля внутри катушки конечной длины, $B_{2}$ - магнитная индукция поля внутри бесконечной катушки.
Магнитная индукция поля на оси соленоида конечной длины определяется уравнением
$B_{1} = \frac{ \mu \mu_{0} }{2} \frac{N}{L} I ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$, (2)
где $\frac{N}{L} = n$ - количество витков, приходящееся на единицу длины, с учётом этого
$B_{1} = \frac{ \mu \mu_{0} }{2} nI ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$. (3)
Для соленоида бесконечной длины уравнение (3) перепишется следующим образом
$B_{2} = \mu \mu_{0}nI$, (4)
Подставим значения $B_{1}$ и $B_{2}$ из уравнений (2) и (3) в уравнение (1)
$\zeta = \frac{ \mu \mu_{0}nI - \frac{1}{2} \mu \mu_{0} nI ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} ) }{ \mu \mu_{0} nI } = 1 - \frac{1}{2} ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} )$. (5)
определим величины $\cos \alpha_{1}$ и $|cos \alpha_{2}$
$\cos \alpha_{1} = \frac{L_{min} }{2 \sqrt{ \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} + \left ( \frac{L_{min} }{2} \right )^{2} } } = \frac{L_{min} }{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }$, (6)
$\cos \alpha_{2} = \sin ( \pi - \alpha ) = \frac{d}{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }$. (7)
Поскольку $\alpha_{2} = \pi - \alpha_{1}$, то $|cos \alpha_{1} = - \cos \alpha_{2}$, то
$1 - \zeta = \cos \alpha _{1} = \frac{L_{min} }{ \sqrt{d^{2} + L_{min}^{2} } }, (1 - \zeta)^{2} = \frac{L_{min}^{2} }{d^{2} + L_{min}^{2} }$. (8)
Подставим в уравнение (8) значение $\zeta = 5 \cdot 10^{-3}$ и $d = 0,1$
$(1 - 0,05)^{2} (0,01 + L_{min}^{2} )= L_{min}^{2}$, (9)
откуда
$L_{min} \simeq \sqrt{ \frac{9,9 \cdot 10^{-3} }{1 \cdot 10^{-2} } } \simeq 0,99 м$. (10)
