Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14700
2020-12-26 
Определить силу тока, протекающего через идеальный диод, если он включен в диагональ симметричного моста, составленного из сопротивлений $R_{1} = 10 кОм, R_{2} = 15 кОм, R_{3} = 30 кОм, R_{4} = 25 кОм$. Мостик подключен к идеальному источнику тока с $\mathcal{E} = 200 В$.
Решение:
Предположим, что диод заперт, т.е. между точками а и b бесконечно большое сопротивление. В этом случае общее сопротивление схемы определится уравнением
$R_{01} = \frac{(R_{1} + R_{4} )(R_{2} + R_{3} )}{R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4} } = \frac{35 \cdot 45}{90} = 17,5 кОм$.
Сила тока через источник определится как
$I_{01} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{01} } = \frac{200}{17,5 \cdot 10^{3}} \simeq 0,01 А$.
Эквивалентная схема цепи в этом случае может быть представлена в виде последовательного соединения сопротивлений $R_{1,4}$ и $R_{2,3}$, которые, в свою очередь, включены параллельно источнику тока
$I_{1,4} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} + R_{4} } = \frac{200}{35 \cdot 10^{3} } \simeq 0,0057 А$. (1)
$I_{2,3} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{2} + R_{3} } = \frac{200}{45 \cdot 10^{3} } \simeq 0,0044 А$. (2)
Падение напряжения на элементах эквивалентной схемы
$U_{1} = I_{1,4} \cdot R_{1} = 0,0056 \cdot 10^{4} = 56В$, (3)
$U_{4} = I_{1,4} \cdot R_{4} = 0,0057 \cdot 25 \cdot 10^{3} \simeq 144 В$, (4)
$U_{2} = I_{2,3} \cdot R_{2} = 0,0044 \cdot 1,5 \cdot 10^{4} \simeq 68 В$, (5)
$U_{3} = I_{2,3} \cdot R_{3} = 0,0044 \cdot 3 \cdot 10^{4} = 132 В$. (6)
Разность потенциалов между точками включения диода составляет $\Delta U = 12 В$, при такой полярности в узловых точках диод должен быть открыт и должен представлять собой весьма малое сопротивление. Другими словами эквивалентная схема цепи будет представлять собой параллельное включение сопротивлений $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}, R_{4}$, которые образуют последовательную цепь. Общее сопротивление цепи в этом случае определится как
$R_{0,2} = \left ( \frac{R_{1} \cdot R_{3} }{R_{1} + R_{3} } \right ) + \left ( \frac{R_{2} \cdot R_{4} }{R_{2} + R_{4} } \right ) = \left ( \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} \right ) + \left ( \frac{15 \cdot 25}{15 + 25} \right ) \simeq 16,9 кОм$ (7)
Сила тока через источник
$I_{02} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{02} } = \frac{200}{16,9 \cdot 10^{3} } \simeq 0,012 А$. (8)
Составим систему уравнений Кирхгофа для баланса токов в узлах a и b, дополнив их двумя уравнениями закона Ома для участка цепи
$\begin{cases} I_{02} = I_{1} + I_{3}, (1) \\ I_{D} + I_{3} = I_{4}, (2) \\ I_{4} + I_{2} = I_{02}, (3) \\ I_{1} = I_{D} + I_{2}, (4) \\ I_{1}R_{1} = I_{3}R_{3}, (5) \\ I_{2}R_{2} = I_{4}R_{4}. (6) \end{cases}$ (9)
Подставив в уравнения (5) и (6) заданные значения сопротивлений, преобразуем их к виду
$I_{1} = I_{3} \frac{R_{3}}{R_{1} } = 3I_{3}, I_{2} = I_{4} \frac{R_{4} }{R_{2} } = 1,7I_{4}$. (10)
Подставим значение силы тока $I_{1}$ из уравнения (10) в уравнение (1) системы (9)
$I_{02} = 3I_{3} + I_{3} \Rightarrow I_{3} = \frac{I_{02} }{4} \simeq 0,003А = 3мА$. (11)
Сила тока $I_{1}$ из уравнений (10) определится как
$I_{1} = 3I_{3} = 0,009 А = 9 мА$. (12)
Далее подставим значение силы тока $I_{2}$ из уравнения (10) в уравнение (4) системы (9)
$I_{4} + 1,7I_{4} = I_{02} \Rightarrow I_{4} = \frac{I_{02} }{2,7 } \simeq 4,4 мА$. (13)
Определим далее силу тока $I_{2}$, воспользовавшись для этого уравнениями (10)
$I_{2} = 1,7I_{4} = 7,5 мА$. (14)
Из уравнения (4) системы (9) найдём искомую величину силы тока через диод
$I_{D} = I_{1} - I_{2} = 1,5 мА$. (15)
Определить силу тока, протекающего через идеальный диод, если он включен в диагональ симметричного моста, составленного из сопротивлений $R_{1} = 10 кОм, R_{2} = 15 кОм, R_{3} = 30 кОм, R_{4} = 25 кОм$. Мостик подключен к идеальному источнику тока с $\mathcal{E} = 200 В$.
Решение:
Предположим, что диод заперт, т.е. между точками а и b бесконечно большое сопротивление. В этом случае общее сопротивление схемы определится уравнением
$R_{01} = \frac{(R_{1} + R_{4} )(R_{2} + R_{3} )}{R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4} } = \frac{35 \cdot 45}{90} = 17,5 кОм$.
Сила тока через источник определится как
$I_{01} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{01} } = \frac{200}{17,5 \cdot 10^{3}} \simeq 0,01 А$.
Эквивалентная схема цепи в этом случае может быть представлена в виде последовательного соединения сопротивлений $R_{1,4}$ и $R_{2,3}$, которые, в свою очередь, включены параллельно источнику тока
$I_{1,4} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1} + R_{4} } = \frac{200}{35 \cdot 10^{3} } \simeq 0,0057 А$. (1)
$I_{2,3} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{2} + R_{3} } = \frac{200}{45 \cdot 10^{3} } \simeq 0,0044 А$. (2)
Падение напряжения на элементах эквивалентной схемы
$U_{1} = I_{1,4} \cdot R_{1} = 0,0056 \cdot 10^{4} = 56В$, (3)
$U_{4} = I_{1,4} \cdot R_{4} = 0,0057 \cdot 25 \cdot 10^{3} \simeq 144 В$, (4)
$U_{2} = I_{2,3} \cdot R_{2} = 0,0044 \cdot 1,5 \cdot 10^{4} \simeq 68 В$, (5)
$U_{3} = I_{2,3} \cdot R_{3} = 0,0044 \cdot 3 \cdot 10^{4} = 132 В$. (6)
Разность потенциалов между точками включения диода составляет $\Delta U = 12 В$, при такой полярности в узловых точках диод должен быть открыт и должен представлять собой весьма малое сопротивление. Другими словами эквивалентная схема цепи будет представлять собой параллельное включение сопротивлений $R_{1}, R_{2}$ и $R_{3}, R_{4}$, которые образуют последовательную цепь. Общее сопротивление цепи в этом случае определится как
$R_{0,2} = \left ( \frac{R_{1} \cdot R_{3} }{R_{1} + R_{3} } \right ) + \left ( \frac{R_{2} \cdot R_{4} }{R_{2} + R_{4} } \right ) = \left ( \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} \right ) + \left ( \frac{15 \cdot 25}{15 + 25} \right ) \simeq 16,9 кОм$ (7)
Сила тока через источник
$I_{02} = \frac{ \mathcal{E} }{R_{02} } = \frac{200}{16,9 \cdot 10^{3} } \simeq 0,012 А$. (8)
Составим систему уравнений Кирхгофа для баланса токов в узлах a и b, дополнив их двумя уравнениями закона Ома для участка цепи
$\begin{cases} I_{02} = I_{1} + I_{3}, (1) \\ I_{D} + I_{3} = I_{4}, (2) \\ I_{4} + I_{2} = I_{02}, (3) \\ I_{1} = I_{D} + I_{2}, (4) \\ I_{1}R_{1} = I_{3}R_{3}, (5) \\ I_{2}R_{2} = I_{4}R_{4}. (6) \end{cases}$ (9)
Подставив в уравнения (5) и (6) заданные значения сопротивлений, преобразуем их к виду
$I_{1} = I_{3} \frac{R_{3}}{R_{1} } = 3I_{3}, I_{2} = I_{4} \frac{R_{4} }{R_{2} } = 1,7I_{4}$. (10)
Подставим значение силы тока $I_{1}$ из уравнения (10) в уравнение (1) системы (9)
$I_{02} = 3I_{3} + I_{3} \Rightarrow I_{3} = \frac{I_{02} }{4} \simeq 0,003А = 3мА$. (11)
Сила тока $I_{1}$ из уравнений (10) определится как
$I_{1} = 3I_{3} = 0,009 А = 9 мА$. (12)
Далее подставим значение силы тока $I_{2}$ из уравнения (10) в уравнение (4) системы (9)
$I_{4} + 1,7I_{4} = I_{02} \Rightarrow I_{4} = \frac{I_{02} }{2,7 } \simeq 4,4 мА$. (13)
Определим далее силу тока $I_{2}$, воспользовавшись для этого уравнениями (10)
$I_{2} = 1,7I_{4} = 7,5 мА$. (14)
Из уравнения (4) системы (9) найдём искомую величину силы тока через диод
$I_{D} = I_{1} - I_{2} = 1,5 мА$. (15)
