Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14695
2020-12-26 
Полусфера радиуса $R$ с плоским основанием помещена в однородное постоянное электрическое поле с известной напряжённостью $E$, ортогональной основанию. Найти поток вектора напряжённости через основание и поверхность полусферы.
Решение:
Внешняя нормаль для основания будет противоположна по направлению $\vec{E}$, поэтому поток в соответствии с теоремой Остроградского - Гаусса определится как
$\Phi_{1} = - \oint E_{n} ds = - \pi R^{2}E$. (1)
Поток через поверхность целесообразно определять в сферических координатах $\alpha$ и $\beta$, именно эти два угла будут однозначно определять положение точки на полусфере, в случае использования привычных декартовых координат, их будет три.
Определим далее компоненты уравнения (1)
$( \vec{E} \cdot \vec{n} ) = E \cos \beta$, (2)
$dS = R^{2} \sin \beta \cdot d \beta \cdot d \alpha$. (3)
Поток через элементарную площадку, расположенную на поверхности полусферы запишется так
$dS = E \cdot R^{2} \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta \cdot d \beta \cdot d \alpha$. (4)
Произведение тригонометрических функций можно свернуть
$\sin \beta \cdot \cos \beta = \sin \frac{ \beta }{2}$, (5)
тогда интеграл для потока примет вид
$\Phi_{2} = \frac{R^{2}E}{2} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \sin 2 \beta \cdot d \beta \cdot \int_{0}^{2 \pi } d \alpha = \pi R^{2} E \cdot \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \sin 2 \beta \cdot d \beta$, (6)
$\Phi_{2} = \frac{ \pi R^{2} E }{2} \left . \cos 2\beta \right |_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } = \pi R^{2}E$. (7)
В результате математических преобразований мы пришли к довольно тривиальному результату, суммарный поток через полусферу равен нулю
$\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$, (8)
как и следовало ожидать, полусфере не рождает и не поглощает поле, как говорят, внутри полусферы отсутствуют источники и стоки. Одним словом: что входит, то и выходит.
Полусфера радиуса $R$ с плоским основанием помещена в однородное постоянное электрическое поле с известной напряжённостью $E$, ортогональной основанию. Найти поток вектора напряжённости через основание и поверхность полусферы.
Решение:
Внешняя нормаль для основания будет противоположна по направлению $\vec{E}$, поэтому поток в соответствии с теоремой Остроградского - Гаусса определится как
$\Phi_{1} = - \oint E_{n} ds = - \pi R^{2}E$. (1)
Поток через поверхность целесообразно определять в сферических координатах $\alpha$ и $\beta$, именно эти два угла будут однозначно определять положение точки на полусфере, в случае использования привычных декартовых координат, их будет три.
Определим далее компоненты уравнения (1)
$( \vec{E} \cdot \vec{n} ) = E \cos \beta$, (2)
$dS = R^{2} \sin \beta \cdot d \beta \cdot d \alpha$. (3)
Поток через элементарную площадку, расположенную на поверхности полусферы запишется так
$dS = E \cdot R^{2} \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta \cdot d \beta \cdot d \alpha$. (4)
Произведение тригонометрических функций можно свернуть
$\sin \beta \cdot \cos \beta = \sin \frac{ \beta }{2}$, (5)
тогда интеграл для потока примет вид
$\Phi_{2} = \frac{R^{2}E}{2} \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \sin 2 \beta \cdot d \beta \cdot \int_{0}^{2 \pi } d \alpha = \pi R^{2} E \cdot \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \sin 2 \beta \cdot d \beta$, (6)
$\Phi_{2} = \frac{ \pi R^{2} E }{2} \left . \cos 2\beta \right |_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } = \pi R^{2}E$. (7)
В результате математических преобразований мы пришли к довольно тривиальному результату, суммарный поток через полусферу равен нулю
$\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$, (8)
как и следовало ожидать, полусфере не рождает и не поглощает поле, как говорят, внутри полусферы отсутствуют источники и стоки. Одним словом: что входит, то и выходит.
