Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14694
2020-12-26 
Внутри замкнутой сферической полости находятся три точечных электрических заряда $q_{1} = +2 нКл, q_{2} = - 3 нКл, q_{3} = + 5 нКл$. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую сферическую поверхность для двух случаев: когда полость заполнена воздухом ($\epsilon = 1$) и водой ($\epsilon = 81$).
Решение:
Поток напряжённости в общем случае определяется уравнением
$\Phi_{E} = \oint_{s} E_{n} ds$, (1)
где $E_{n} = E \cos ( \vec{E}; \vec{n} )$ - проекция вектора напряжённости на внешнюю нормаль. В данном случае $( \vec{E} ; \vec{n} )= 0 , \cos ( \vec{E} ; \vec{n} ) = 1$, поэтому $E = E_{n}$.
Каждый заряд на поверхности сферы создаёт поле постоянной напряжённости
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} }$. (2)
Перепишем уравнение (1) для точечного заряда с учётом сферической симметрии задачи и постоянства $E$
$\Phi_{E} = \oint Eds = E \oint ds = E \cdot 4 \pi r^{2} = \frac{q \cdot 4 \pi r^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} } = \frac{q}{ \epsilon_{0} \epsilon }$. (3)
В соответствии с теоремой Остроградского - Гаусса поток от нескольких зарядов через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, содержащихся внутри этой поверхности
$\Phi_{E} = \frac{1}{ \epsilon_{0} \epsilon } \sum_{i=1}^{i = n} q_{i}$. (4)
Применительно к сферической поверхности, заполненной воздухом, уравнение (4) для трёх заданных зарядов представится следующим образом
$\Phi_{E(возд)} = \frac{1}{ \epsilon_{0} \epsilon }(q_{1} - q_{2} + q_{3}) \simeq \frac{1}{9 \cdot 10^{-12} \cdot 1} (2 - \bar{3} + 5)10^{-9} \simeq 444 В \cdot м$. (5)
Поток напряжённости электрического поля заданных зарядов при заполнении внутренности сферы водой уменьшится в $\epsilon$ раз, потому что вода будет поглощать часть энергии поля на изменение конфигурации молекул
$\Phi_{E(H_{2}O )} = \frac{ \Phi_{E(возд)} }{ \epsilon } \simeq \frac{444}{81} \simeq 5,5 В \cdot м$. (6)
Внутри замкнутой сферической полости находятся три точечных электрических заряда $q_{1} = +2 нКл, q_{2} = - 3 нКл, q_{3} = + 5 нКл$. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую сферическую поверхность для двух случаев: когда полость заполнена воздухом ($\epsilon = 1$) и водой ($\epsilon = 81$).
Решение:
Поток напряжённости в общем случае определяется уравнением
$\Phi_{E} = \oint_{s} E_{n} ds$, (1)
где $E_{n} = E \cos ( \vec{E}; \vec{n} )$ - проекция вектора напряжённости на внешнюю нормаль. В данном случае $( \vec{E} ; \vec{n} )= 0 , \cos ( \vec{E} ; \vec{n} ) = 1$, поэтому $E = E_{n}$.
Каждый заряд на поверхности сферы создаёт поле постоянной напряжённости
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} }$. (2)
Перепишем уравнение (1) для точечного заряда с учётом сферической симметрии задачи и постоянства $E$
$\Phi_{E} = \oint Eds = E \oint ds = E \cdot 4 \pi r^{2} = \frac{q \cdot 4 \pi r^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} } = \frac{q}{ \epsilon_{0} \epsilon }$. (3)
В соответствии с теоремой Остроградского - Гаусса поток от нескольких зарядов через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, содержащихся внутри этой поверхности
$\Phi_{E} = \frac{1}{ \epsilon_{0} \epsilon } \sum_{i=1}^{i = n} q_{i}$. (4)
Применительно к сферической поверхности, заполненной воздухом, уравнение (4) для трёх заданных зарядов представится следующим образом
$\Phi_{E(возд)} = \frac{1}{ \epsilon_{0} \epsilon }(q_{1} - q_{2} + q_{3}) \simeq \frac{1}{9 \cdot 10^{-12} \cdot 1} (2 - \bar{3} + 5)10^{-9} \simeq 444 В \cdot м$. (5)
Поток напряжённости электрического поля заданных зарядов при заполнении внутренности сферы водой уменьшится в $\epsilon$ раз, потому что вода будет поглощать часть энергии поля на изменение конфигурации молекул
$\Phi_{E(H_{2}O )} = \frac{ \Phi_{E(возд)} }{ \epsilon } \simeq \frac{444}{81} \simeq 5,5 В \cdot м$. (6)
