Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14690
2020-12-26 
Капли воды, попадая на раскалённую поверхность плиты, «сохраняются» дольше, интенсивно перемещаясь и подпрыгивая. Капли на менее нагретой плите ведут себя «спокойнее», но испаряются быстрее. Почему так происходит?
Решение:
При попадании сферической капли воды на раскалённую поверхность плиты с температурой $T_{1}$ она достаточно быстро прогревается. Рассмотрим модель прогрева капли, считая, что процесс обладает сферической симметрией, т.е.
$\frac{ \partial T(0, \tau ) }{ \partial r} = 0$. (1)
Коэффициент теплопроводности $\lambda$, теплоемкость $c$, температуропроводность $a$ и плотность $\rho$ есть известные функции температуры (см. графики). В этом случае сферически симметричный теплообмен в пренебрежении конвективными потоками внутри капли (при $\tau > 0; 0 < r < r_{1}$) описывается уравнением:
$c \rho \frac{ \partial T}{ \partial \tau } = \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial r} \left ( \lambda r^{2} \frac{ \partial T}{ \partial r} \right )$. (2)
Начальная температура считается постоянной, т.е. $T(r,0) = T_{0} = const$, а на поверхности предполагается выполнение граничных условий третьего рода:
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(0, \tau ) = 0$,
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(r_{F} , \tau ) = H \{ \bar{T} - T(r_{f}, \tau ) \}$, (3)
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(0, \tau ) = 0, T(0, \tau) \neq \infty$.
где $H$ - постоянная, определяющая поток тепла на границе капли со средой, $r$ - текущий радиус, $\tau$ - время.
Общее уравнения (2) имеет вид:
$\Theta (r, \tau ) = \bar{T} - T(r, \tau ) = \sum_{n=1}^{n = \infty} \frac{2 \theta_{n} }{ \theta_{n} - \sin \theta_{n} \cos \theta_{n} } \frac{ \sin \left ( \theta_{n} \frac{r}{r_{F} } \right ) }{rr_{f} } \int_{0}^{r_{f}} rf_{1}(r) \sin \left ( \theta_{n} \frac{r}{r_{f} } \right ) dr \cdot e^{- \theta_{n}^{2} Fo }$, (4)
где $Fo = \frac{a \tau }{r_{F}^{2} }$ - коэффициент Фурье, $\theta_{n}$ - корни характеристического уравнения $tg \theta = \frac{1}{B_{i}^{*} - 1 } \theta$ ($B_{i}^{*} = Hr_{f}$ ), при этом параметр $B_{i}^{*} = f(Re)$:
$Bi^{*} = \begin{cases} 0,115 Bi \: Re^{0,6} \: (Re > 20), \\ Bi \: (Re \leq 20) . \end{cases}$ (5)
Критерий Рейнольдса для капли определяется уравнением:
$Re = \frac{v_{F}2r_{F} }{\nu_{F} } \simeq \frac{4(2r_{F})^{3} v_{0}}{ \nu_{F} (2(2r_{F} )^{1,5} + \Psi \tau \sqrt{v_{0} } )^{2} }$, (6)
где $v_{0}$ - начальная скорость капли, $\nu_{g}$ - коэффициент кинематической вязкости среды, параметр $\Psi$ определяется как
$\Psi = \frac{3}{4} \frac{A \sqrt{ \nu_{g} } \gamma_{0} }{ \gamma_{F} }$, (7)
где постоянная для тел со сферической симметрией $A \simeq 14$, $\gamma_{0}$ - удельный вес среды, в которой нагревается капля. Значение $t_{r(F)}$ соответствует моменту начала кипения воды. При этом считается, что фазовый переход вода - пар начинается при условии:
$\phi \int_{V} \int_{R_{cr} }^{R_{max} } n(R)dR dV = 1$, (8)
где $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ - объем капли. Равенство (8) означает, что математическое ожидание числа неустойчивых зародышей кипения в объеме данной капли становится равным единице.
Данные, приведенные на рисунке, получены при совместном решении уравнений (2 - 4) численными методами.
Как видно из приведенных данных переход воды в пар начинается на поверхности капли, пар образует оболочку, вода после этого контакта с поверхностью нагревателя не имеет. Коэффициент теплопроводности пара составляет $\lambda_{p} = 0,024 Вт/м \cdot К$, воды - $\lambda_{L} = 0,54 Вт/м \cdot К$, т.е. теплопроводность воды в 22,5 раза выше, чем у пара. Это приводит к тому, что поверхность капли перегрета, в то время как в целом, температура капли не достигает температуры кипения.
На умеренно горячей плите фазового перехода на поверхности капли не происходит, капля воды прогревается по всему объёму и, вскипая, быстро превращается в пар.
Капли воды, попадая на раскалённую поверхность плиты, «сохраняются» дольше, интенсивно перемещаясь и подпрыгивая. Капли на менее нагретой плите ведут себя «спокойнее», но испаряются быстрее. Почему так происходит?
Решение:
При попадании сферической капли воды на раскалённую поверхность плиты с температурой $T_{1}$ она достаточно быстро прогревается. Рассмотрим модель прогрева капли, считая, что процесс обладает сферической симметрией, т.е.
$\frac{ \partial T(0, \tau ) }{ \partial r} = 0$. (1)
Коэффициент теплопроводности $\lambda$, теплоемкость $c$, температуропроводность $a$ и плотность $\rho$ есть известные функции температуры (см. графики). В этом случае сферически симметричный теплообмен в пренебрежении конвективными потоками внутри капли (при $\tau > 0; 0 < r < r_{1}$) описывается уравнением:
$c \rho \frac{ \partial T}{ \partial \tau } = \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial r} \left ( \lambda r^{2} \frac{ \partial T}{ \partial r} \right )$. (2)
Начальная температура считается постоянной, т.е. $T(r,0) = T_{0} = const$, а на поверхности предполагается выполнение граничных условий третьего рода:
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(0, \tau ) = 0$,
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(r_{F} , \tau ) = H \{ \bar{T} - T(r_{f}, \tau ) \}$, (3)
$\frac{ \partial }{ \partial r } T(0, \tau ) = 0, T(0, \tau) \neq \infty$.
где $H$ - постоянная, определяющая поток тепла на границе капли со средой, $r$ - текущий радиус, $\tau$ - время.
Общее уравнения (2) имеет вид:
$\Theta (r, \tau ) = \bar{T} - T(r, \tau ) = \sum_{n=1}^{n = \infty} \frac{2 \theta_{n} }{ \theta_{n} - \sin \theta_{n} \cos \theta_{n} } \frac{ \sin \left ( \theta_{n} \frac{r}{r_{F} } \right ) }{rr_{f} } \int_{0}^{r_{f}} rf_{1}(r) \sin \left ( \theta_{n} \frac{r}{r_{f} } \right ) dr \cdot e^{- \theta_{n}^{2} Fo }$, (4)
где $Fo = \frac{a \tau }{r_{F}^{2} }$ - коэффициент Фурье, $\theta_{n}$ - корни характеристического уравнения $tg \theta = \frac{1}{B_{i}^{*} - 1 } \theta$ ($B_{i}^{*} = Hr_{f}$ ), при этом параметр $B_{i}^{*} = f(Re)$:
$Bi^{*} = \begin{cases} 0,115 Bi \: Re^{0,6} \: (Re > 20), \\ Bi \: (Re \leq 20) . \end{cases}$ (5)
Критерий Рейнольдса для капли определяется уравнением:
$Re = \frac{v_{F}2r_{F} }{\nu_{F} } \simeq \frac{4(2r_{F})^{3} v_{0}}{ \nu_{F} (2(2r_{F} )^{1,5} + \Psi \tau \sqrt{v_{0} } )^{2} }$, (6)
где $v_{0}$ - начальная скорость капли, $\nu_{g}$ - коэффициент кинематической вязкости среды, параметр $\Psi$ определяется как
$\Psi = \frac{3}{4} \frac{A \sqrt{ \nu_{g} } \gamma_{0} }{ \gamma_{F} }$, (7)
где постоянная для тел со сферической симметрией $A \simeq 14$, $\gamma_{0}$ - удельный вес среды, в которой нагревается капля. Значение $t_{r(F)}$ соответствует моменту начала кипения воды. При этом считается, что фазовый переход вода - пар начинается при условии:
$\phi \int_{V} \int_{R_{cr} }^{R_{max} } n(R)dR dV = 1$, (8)
где $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ - объем капли. Равенство (8) означает, что математическое ожидание числа неустойчивых зародышей кипения в объеме данной капли становится равным единице.
Данные, приведенные на рисунке, получены при совместном решении уравнений (2 - 4) численными методами.
Как видно из приведенных данных переход воды в пар начинается на поверхности капли, пар образует оболочку, вода после этого контакта с поверхностью нагревателя не имеет. Коэффициент теплопроводности пара составляет $\lambda_{p} = 0,024 Вт/м \cdot К$, воды - $\lambda_{L} = 0,54 Вт/м \cdot К$, т.е. теплопроводность воды в 22,5 раза выше, чем у пара. Это приводит к тому, что поверхность капли перегрета, в то время как в целом, температура капли не достигает температуры кипения.
На умеренно горячей плите фазового перехода на поверхности капли не происходит, капля воды прогревается по всему объёму и, вскипая, быстро превращается в пар.
