ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Чему равна теплота образования единицы поверхности жидкой плёнки?


Решение:


Чтобы увеличить поверхность плёнки на бесконечно малую величину $ds$ необходимо произвести работу по преодолению сил поверхностного натяжения

$\delta A = - \sigma ds$. (1)

Работа, как известно, входит наряду с изменением внутренней энергии в уравнение первого начала термодинамики

$\delta Q = dU - \delta A = dU - \sigma s$. (2)

Элементарное тепло $\delta Q$ связано с изменением энтропии $dS$ следующим соотношением

$dS = \frac{ \delta Q}{T} \Rightarrow \delta Q = T dS$. (3)

Перепишем уравнение (2) с учётом уравнения (3)

$TdS = dU - \sigma ds \Rightarrow dU = TdS + \sigma ds$. (4)

Свободная энергия термодинамической системы определяется как

$\Psi = U - TS$, (5)

откуда

$d \Psi = - SdT + \sigma ds$. (6)

Выразим из уравнения (6) энтропию

$S = - \left ( \frac{ \partial \Psi}{ \partial T} \right )_{s}$, (7)

и подставим в уравнение (5)

$\Psi = U + T \left ( \frac{ \partial \Psi}{ \partial T} \right )_{s}$.

Подставим в последнее уравнение $\Psi = \sigma s$

$\sigma s = U + T \left [ \frac{ \partial ( \sigma s) }{ \partial T} \right ]_{s}$. (9)

Коэффициент поверхностного натяжения не зависит от площади, но зависит от температуры, что даёт основание переписать (9) следующим образом

$U = \sigma s - Ts \left ( \frac{d \sigma}{dT} \right ) = s \left ( \sigma - \frac{d \sigma }{dT} \right )$. (10)

Чтобы увеличить площадь плёнки при постоянной температуре, ей нужно сообщить дополнительно количество тепла

$Q = \Delta U - \sigma s = s \left ( \sigma - T \frac{d \sigma }{dT} \right ) - \sigma s = - T \frac{d \sigma}{dT}ds$. (11)

Количество тепла, сообщаемое единице поверхности плёнки, таким образом, определится соотношением

$q = - T \frac{d \sigma }{dT}$. (12)