Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14686
2020-12-26 
Собираясь позавтракать, некто налил в чашку кофе массой $m_{1} = 150 г$ при температуре $T = 353 К$, но обстоятельства заставили его покинуть комнату на некоторое время. Что рациональнее сделать, чтобы кофе имел более высокую температуру к возвращению: добавить $m_{2} = 20 г$ молока с температурой $T_{2} = 283 К$ перед уходом или после возвращения? Проведите оценочный расчёт в подтверждение версии своего варианта.
Решение:
Зададимся теплофизическими параметрами жидкостей: удельная теплоемкость воды $c_{1} =4200 Дж/кг \cdot К$; теплоёмкость молока $c_{2} \simeq 3900 Дж/кг \cdot К$.
Определим удельную теплоёмкость смеси молока и воды определим, записав дважды теплоту, необходимую для изменения температуры двух заданных жидкостей
$Q = c_{3} (m_{1} + m_{2} ) \Delta T, Q = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2} ) \Delta T$. (1)
Приравняем правые части уравнений (1)
$c_{3} (m_{1} + m_{2} ) \Delta T = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2} ) \Delta T$, (2)
выразим далее из уравнения (2) удельную теплоёмкость смеси
$c_{3} = c_{1} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } + c_{2} \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \simeq 4163 Дж/кг \cdot К$. (3)
Из уравнения теплового баланса определим установившуюся температуру $\Omega$ в случае добавления в кофе молока сразу перед уходом
$c_{1}m_{}(T_{1} - \Omega ) = c_{3}m_{3}( \Omega - T_{2} )$, (4)
где $m_{3} = m_{1} + m_{2} = 0,17 кг$,
$\Omega = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{3}m_{3}T_{2} }{c_{3}m_{3} + c_{1}m_{1} } \simeq \frac{4200 \cdot 0,15 \cdot 353 + 4163 \cdot 0,02 \cdot 283 }{4163 \cdot 0,02 + 4200 \cdot 0,15 } \simeq 345$. (5)
Запишем уравнения, определяющие динамику охлаждения кофе без молока и кофе с молоком, добавленным в начале процесса охлаждения
$\delta Q_{1} = - \lambda \frac{ \partial T_{1} }{ \partial z} s \tau_{1}, \delta Q_{2} = - \lambda \frac{ \partial T_{2} }{ \partial z} s \tau_{2}$, (6)
где $\partial T_{1} \simeq (T_{1} - T_{3}), \partial T_{2} \simeq ( \Omega - T_{3})$, $\tau_{1}$ - время охлаждения «простого» кофе, $\tau_{2}$ - время охлаждения кофе с молоком. Поскольку $\delta Q_{1} = \delta Q_{2}$, то приравняв правые части уравнений, можно найти отношение времён охлаждения, например до $T_{3} = 300 К$
$\frac{ \tau_{2}}{ \tau_[1 } = \frac{T_{1} - T_{3}}{ \Omega - T_{3} } \simeq \frac{53}{45} \simeq 1,18$. (7)
Таким образом, более целесообразно, перед уходом добавить холодное молоко в горячий кофе, т.е. подвергнуть охлаждению смесь.
Собираясь позавтракать, некто налил в чашку кофе массой $m_{1} = 150 г$ при температуре $T = 353 К$, но обстоятельства заставили его покинуть комнату на некоторое время. Что рациональнее сделать, чтобы кофе имел более высокую температуру к возвращению: добавить $m_{2} = 20 г$ молока с температурой $T_{2} = 283 К$ перед уходом или после возвращения? Проведите оценочный расчёт в подтверждение версии своего варианта.
Решение:
Зададимся теплофизическими параметрами жидкостей: удельная теплоемкость воды $c_{1} =4200 Дж/кг \cdot К$; теплоёмкость молока $c_{2} \simeq 3900 Дж/кг \cdot К$.
Определим удельную теплоёмкость смеси молока и воды определим, записав дважды теплоту, необходимую для изменения температуры двух заданных жидкостей
$Q = c_{3} (m_{1} + m_{2} ) \Delta T, Q = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2} ) \Delta T$. (1)
Приравняем правые части уравнений (1)
$c_{3} (m_{1} + m_{2} ) \Delta T = (c_{1}m_{1} + c_{2}m_{2} ) \Delta T$, (2)
выразим далее из уравнения (2) удельную теплоёмкость смеси
$c_{3} = c_{1} \frac{m_{1} }{m_{1} + m_{2} } + c_{2} \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \simeq 4163 Дж/кг \cdot К$. (3)
Из уравнения теплового баланса определим установившуюся температуру $\Omega$ в случае добавления в кофе молока сразу перед уходом
$c_{1}m_{}(T_{1} - \Omega ) = c_{3}m_{3}( \Omega - T_{2} )$, (4)
где $m_{3} = m_{1} + m_{2} = 0,17 кг$,
$\Omega = \frac{c_{1}m_{1}T_{1} + c_{3}m_{3}T_{2} }{c_{3}m_{3} + c_{1}m_{1} } \simeq \frac{4200 \cdot 0,15 \cdot 353 + 4163 \cdot 0,02 \cdot 283 }{4163 \cdot 0,02 + 4200 \cdot 0,15 } \simeq 345$. (5)
Запишем уравнения, определяющие динамику охлаждения кофе без молока и кофе с молоком, добавленным в начале процесса охлаждения
$\delta Q_{1} = - \lambda \frac{ \partial T_{1} }{ \partial z} s \tau_{1}, \delta Q_{2} = - \lambda \frac{ \partial T_{2} }{ \partial z} s \tau_{2}$, (6)
где $\partial T_{1} \simeq (T_{1} - T_{3}), \partial T_{2} \simeq ( \Omega - T_{3})$, $\tau_{1}$ - время охлаждения «простого» кофе, $\tau_{2}$ - время охлаждения кофе с молоком. Поскольку $\delta Q_{1} = \delta Q_{2}$, то приравняв правые части уравнений, можно найти отношение времён охлаждения, например до $T_{3} = 300 К$
$\frac{ \tau_{2}}{ \tau_[1 } = \frac{T_{1} - T_{3}}{ \Omega - T_{3} } \simeq \frac{53}{45} \simeq 1,18$. (7)
Таким образом, более целесообразно, перед уходом добавить холодное молоко в горячий кофе, т.е. подвергнуть охлаждению смесь.
