ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Определите среднюю термодинамическую температуру подводимой теплоты к свинцу при его плавлении, если перед началом процесса свинец имел температуру $T_{1} = 27^{ \circ} С$. Теплоёмкость свинца изменяется с температурой как: $c = a + bT$, где $a = 124,8 Дж/кг \cdot град, b = 0,032 Дж/кг \cdot град^{2}$.


Решение:


Средняя термодинамическая температура определяется уравнением

$T_{m} = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{ \Delta S_{1} + \Delta S_{2} }$,

где $Q_{1}$ - теплота нагревания свинца, $Q_{2}$ - теплота плавления свинца, $\Delta S_{1}, \Delta S_{2}$ - изменение энтропии в процессах нагревания и плавления.

Определим необходимые для заданных процессов количества тепла

$Q_{1} = \int_{T_{1} }^{T_{2} } mcdT = ma(T_{2} - T_{1} ) + \frac{mb}{2} (T_{2}^{2} - T_{1}^{2} )$,
$Q_{2} = rm$,

где $r$ - теплота плавления свинца.

Изменение энтропии в процессе нагревания и плавления составит

$\Delta S_{1} = \int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dQ}{T} = \int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{cmdT}{T} = am ln \frac{T_{2} }{T_{1} } + bm (T_{2} - T_{1} )$,
$\Delta S_{2} = \frac{Q_{2} }{T_{2} } = \frac{rm}{T_{2} }$.

Подставим полученные уравнения для тепла и энтропии в исходное уравнение

$T_{m} = \frac{ma (T_{2} - T_{1} ) + \frac{mb}{2} (T_{2}^{2} - T_{1}^{2} ) + rm }{am ln \frac{T_{2}}{T_{1} } + bm (T_{2} - T_{1} ) + \frac{rm}{T_{2} } }$,

после сокращения неизвестной массы свинца, получим

$T_{m} = \frac{a(T_{2} - T_{1} ) + 0,5b(T_{2}^{2} - T_{1}^{2} ) + r }{a ln \frac{T_{2} }{T_{1} } + b(T_{2} - T_{1} ) + \frac{r}{T_{2} } }$.

Подставим в последнее уравнение следующие величины: $T_{1} = 27^{ \circ} С, T_{2} = 327^{ \circ } С, r = 2,43 \cdot 10^{4} Дж/кг$

$T_{m} \simeq 210^{ \circ} С = 482 К$.