Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14681
2020-12-26 
В лежащий горизонтально цилиндрический стакан с площадью поперечного сечения $S = 1 м^{2}$ вставлен поршень, который плотно прилегает к стенкам стакана и может скользить вдоль них без трения. К поршню прикреплена пружина жесткости $k = 10^{4} н/м$. Внутри стакана находится идеальный газ, а снаружи - воздух при атмосферном давлении $P_{0} = 10^{5} Па$. При этом пружина не деформирована, а газ занимает объем $V_{0} = 1м^{3}$. На какое расстояние $x$ нужно сместить второй конец пружины, чтобы после прихода к равновесию поршень сместился бы на расстояние $a = 0,1 см$? Температура газа поддерживается постоянной. Укажите также с пояснением, как изменится внутренняя энергия газа в этом процессе?
Решение:
Определим изменение давления в цилиндре, считая, что процесс изменения состояния газа протекает по изотермической схеме
$p_{0}V_{0} = p_{1}V_{1}; p_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{V_{0} + Sa }$.
Определим параметры газа при перемещении поршня на расстояние $a$
$p_{1}V_{1} = \frac{m}{ \mu } RT; \frac{m}{ \mu } RT = \frac{p_{0}V_{0} (V_{0} + Sa)}{V_{0} + Sa } = p_{0}V_{0}$.
Найдём величину работы, которую нужно совершить при изотермическом изменении объёма
$A = \frac{m}{ \mu } RT ln \frac{V_{1} }{V_{0} } = p_{0}V_{0} ln \left ( \frac{V_{0} + Sa }{V_{0} } \right ) = p_{0}V_{0} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right )$.
Потенциальная энергия растянутой пружины
$U = \frac{kx^{2} }{2}$.
Если систему поршень - пружина считать консервативной, то к ней можно применить закон сохранения энергии в виде
$\Pi = A; \frac{kx^{2} }{2} = p_{0}V_{0} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right )$;
$x = \sqrt{ \frac{2p_{0}V_{0} }{k} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right ) }$.
Внутренняя энергия идеального газа в общем случае равна
$U = \frac{m}{ \mu } \frac{i}{2} RT$,
где $m$ - масса газа, $\mu$ - молярная масса, $i$ - число степеней свободы молекулы, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура газа. Поскольку ни одна из величин входящих в последнее уравнение не меняется, то и внутренняя энергия газа в процессе его изотермического изменения состояния останется неизменной.
В лежащий горизонтально цилиндрический стакан с площадью поперечного сечения $S = 1 м^{2}$ вставлен поршень, который плотно прилегает к стенкам стакана и может скользить вдоль них без трения. К поршню прикреплена пружина жесткости $k = 10^{4} н/м$. Внутри стакана находится идеальный газ, а снаружи - воздух при атмосферном давлении $P_{0} = 10^{5} Па$. При этом пружина не деформирована, а газ занимает объем $V_{0} = 1м^{3}$. На какое расстояние $x$ нужно сместить второй конец пружины, чтобы после прихода к равновесию поршень сместился бы на расстояние $a = 0,1 см$? Температура газа поддерживается постоянной. Укажите также с пояснением, как изменится внутренняя энергия газа в этом процессе?
Решение:
Определим изменение давления в цилиндре, считая, что процесс изменения состояния газа протекает по изотермической схеме
$p_{0}V_{0} = p_{1}V_{1}; p_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{V_{0} + Sa }$.
Определим параметры газа при перемещении поршня на расстояние $a$
$p_{1}V_{1} = \frac{m}{ \mu } RT; \frac{m}{ \mu } RT = \frac{p_{0}V_{0} (V_{0} + Sa)}{V_{0} + Sa } = p_{0}V_{0}$.
Найдём величину работы, которую нужно совершить при изотермическом изменении объёма
$A = \frac{m}{ \mu } RT ln \frac{V_{1} }{V_{0} } = p_{0}V_{0} ln \left ( \frac{V_{0} + Sa }{V_{0} } \right ) = p_{0}V_{0} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right )$.
Потенциальная энергия растянутой пружины
$U = \frac{kx^{2} }{2}$.
Если систему поршень - пружина считать консервативной, то к ней можно применить закон сохранения энергии в виде
$\Pi = A; \frac{kx^{2} }{2} = p_{0}V_{0} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right )$;
$x = \sqrt{ \frac{2p_{0}V_{0} }{k} ln \left ( 1 + \frac{Sa}{V_{0} } \right ) }$.
Внутренняя энергия идеального газа в общем случае равна
$U = \frac{m}{ \mu } \frac{i}{2} RT$,
где $m$ - масса газа, $\mu$ - молярная масса, $i$ - число степеней свободы молекулы, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура газа. Поскольку ни одна из величин входящих в последнее уравнение не меняется, то и внутренняя энергия газа в процессе его изотермического изменения состояния останется неизменной.
