Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14677
2020-12-26 
В сосуде содержится газ, количество которого $\nu = 1,2$ моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определите число молекул $\Delta N$, скорости которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости $v_{в}$.
Решение:
Воспользуемся распределением молекул газа по относительным скоростям $u$ ($u = v/v_{в}$). Определим число молекул $dN(u)$, относительные скорости которых распределены в пределах от $u$ до $du$
$dN(u) = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } e^{-u^{2} } u^{2} du$,
где $N$ - общее число молекул газа в сосуде.
По заданному условию $v_{max} = 0,001 v_{в}$, что позволяет уравнение распределения упростить: при $u \ll 1$ величина $e^{- u^{2}} \approx 1 - u^{2}$, кроме того $u^{2} = (0,001)^{2} = 10^{- 6}$, что даёт возможность распределение представить в виде
$dN(u) = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } u^{2} du$.
Проинтегрируем последнее уравнение по и в пределах от 0 до $u_{max}$
$\Delta N = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } \int_{0}^{u_{max} } u^{2}du = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } \left . \frac{u^{3} }{3} \right |_{0}^{u_{max} } = \frac{4N}{3 \sqrt{ \pi } } u_{max}^{3}$.
Выразим далее общее количество частиц через количество вещества и постоянную Авогадро $N = \nu N_{A}$
$\Delta N = \frac{4 \nu N_{A} }{3 \sqrt{ \pi } } u_{max}^{3} = \frac{4 \cdot 1,2 \cdot 6 \cdot 10^{23}}{3 \cdot 1,77} (10^{-3} )^{3} \simeq 5,4 \cdot 10^{14}$ молекул.
В сосуде содержится газ, количество которого $\nu = 1,2$ моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определите число молекул $\Delta N$, скорости которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости $v_{в}$.
Решение:
Воспользуемся распределением молекул газа по относительным скоростям $u$ ($u = v/v_{в}$). Определим число молекул $dN(u)$, относительные скорости которых распределены в пределах от $u$ до $du$
$dN(u) = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } e^{-u^{2} } u^{2} du$,
где $N$ - общее число молекул газа в сосуде.
По заданному условию $v_{max} = 0,001 v_{в}$, что позволяет уравнение распределения упростить: при $u \ll 1$ величина $e^{- u^{2}} \approx 1 - u^{2}$, кроме того $u^{2} = (0,001)^{2} = 10^{- 6}$, что даёт возможность распределение представить в виде
$dN(u) = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } u^{2} du$.
Проинтегрируем последнее уравнение по и в пределах от 0 до $u_{max}$
$\Delta N = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } \int_{0}^{u_{max} } u^{2}du = \frac{4N}{ \sqrt{ \pi } } \left . \frac{u^{3} }{3} \right |_{0}^{u_{max} } = \frac{4N}{3 \sqrt{ \pi } } u_{max}^{3}$.
Выразим далее общее количество частиц через количество вещества и постоянную Авогадро $N = \nu N_{A}$
$\Delta N = \frac{4 \nu N_{A} }{3 \sqrt{ \pi } } u_{max}^{3} = \frac{4 \cdot 1,2 \cdot 6 \cdot 10^{23}}{3 \cdot 1,77} (10^{-3} )^{3} \simeq 5,4 \cdot 10^{14}$ молекул.
