Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14676
2020-12-26 
Пылинка массой $m \simeq 10^{-18} г$ взвешена в воздухе. Определите толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха равна 300 К.
Решение:
Распределение концентрации пылинок зависит только от вертикальной координаты z и описывается распределением Людвига Больцмана
$n = n_{0} e^{ - \frac{U}{k_{B}T } } = n_{0} e^{- \frac{mgz}{k_{B}T } }$.
Так как по условию задачи изменение концентрации пылинок по вертикальной координате мало ($\frac{ \Delta n}{n} = 0,01$), то величину $\Delta n$ можно без ущерба нарушения физического смысла задачи заменить на $dn$.
Продифференцируем распределение Больцмана по вертикальной координате $z$
$dn = - n_{0} \frac{mg}{k_{B}T } e^{ - \frac{mgz}{k_{B}T } } dz$.
В последнем уравнении можно выделить величину
$n = n_{0} e^{ - \frac{mgz}{k_{B}T } }$,
и переписать его следующим образом
$dn = - \frac{mg}{k_{B}T } ndz$,
откуда
$dz = - \frac{k_{B}T }{mg} \frac{dn}{n}$.
Заменим дифференциалы конечными изменениями $\Delta n$ и $\Delta z$
$| \Delta z| = \frac{k_{B}T }{mg} \frac{ \Delta n}{n}$.
С учётом того, что $\frac{ \Delta n}{n} = 0,01, k_{B} \approx 1,4 \cdot 10^{- 23} Дж/К, T = 300 К, m = 10^{- 21} кг, g \approx 9,81 м/с^{2}$, имеем
$| \Delta z | = \frac{1,4 \cdot 10^{-23} \cdot 300 }{ 10^{-21} \cdot 9,81} 10^{-2} \simeq 4 \cdot 10^{-3} м$.
Пылинка массой $m \simeq 10^{-18} г$ взвешена в воздухе. Определите толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха равна 300 К.
Решение:
Распределение концентрации пылинок зависит только от вертикальной координаты z и описывается распределением Людвига Больцмана
$n = n_{0} e^{ - \frac{U}{k_{B}T } } = n_{0} e^{- \frac{mgz}{k_{B}T } }$.
Так как по условию задачи изменение концентрации пылинок по вертикальной координате мало ($\frac{ \Delta n}{n} = 0,01$), то величину $\Delta n$ можно без ущерба нарушения физического смысла задачи заменить на $dn$.
Продифференцируем распределение Больцмана по вертикальной координате $z$
$dn = - n_{0} \frac{mg}{k_{B}T } e^{ - \frac{mgz}{k_{B}T } } dz$.
В последнем уравнении можно выделить величину
$n = n_{0} e^{ - \frac{mgz}{k_{B}T } }$,
и переписать его следующим образом
$dn = - \frac{mg}{k_{B}T } ndz$,
откуда
$dz = - \frac{k_{B}T }{mg} \frac{dn}{n}$.
Заменим дифференциалы конечными изменениями $\Delta n$ и $\Delta z$
$| \Delta z| = \frac{k_{B}T }{mg} \frac{ \Delta n}{n}$.
С учётом того, что $\frac{ \Delta n}{n} = 0,01, k_{B} \approx 1,4 \cdot 10^{- 23} Дж/К, T = 300 К, m = 10^{- 21} кг, g \approx 9,81 м/с^{2}$, имеем
$| \Delta z | = \frac{1,4 \cdot 10^{-23} \cdot 300 }{ 10^{-21} \cdot 9,81} 10^{-2} \simeq 4 \cdot 10^{-3} м$.
