Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14674
2020-12-26 
Определите среднеквадратичное отклонение математического маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением грузика. Температура воздуха $t = 20^{ \circ} С$. Масса грузика равна $m = 1 \cdot 10^{-6} кг$, длина маятника $l = 10 м$.
Решение:
Приближённо задачу можно решить, полагая грузик маятника материальной частицей, обладающей одной степенью свободы, т.е. $i = 1$. Энергия теплового движения, приходящаяся на одну степень свободы, и средняя квадратичная скорость определятся как
$\langle \epsilon \rangle = \frac{1}{2}k_{B}T, \langle v_{c} \rangle = \sqrt{ \frac{k_{B}T }{m} } \simeq 6,4 \cdot 10^{-8} м/с$. (1)
Определим далее период малых колебаний маятника $T$
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } = 6,28 с$. (2)
Таким образом, грузик маятника может двигаться в одном направлении в течение времени $\frac{T}{4} = 1,57 с$. За 1 с грузик маятника отклонится от положения равновесия на расстояние
$\langle \Delta x_{c} \rangle \simeq 6,4 \cdot 10^{-8} м$. (3)
Максимально возможное среднеквадратичное отклонение определится из условия
$\langle \Delta x_{c} \rangle_{max} = \langle v_{c} \rangle \frac{T}{4} \simeq 1 \cdot 10^{-7} м$. (4)
Задачу можно решить, используя модель броуновского движения
$\frac{d \langle x^{2} \rangle }{dt} = 2k_{B}TB \left ( 1 - e^{ - \frac{t}{mB} } \right )$, (5)
где
$B = \frac{1}{6 \pi \eta R}$, (3)
подвижность частицы, определяемая законом Стокса, через радиус частицы $R$ и коэффициент динамической вязкости $\eta$. Для промежутков времени $\Delta t \gg 10^{-5} с$ уравнение (5) упростится
$\langle \Delta x^{2} \rangle = 2k_{B}TB \Delta t$. (7)
Радиус грузика оценим в предположении, что он изготовлен из стали с плотностью $\rho = 7800 кг/м^{3}$
$m = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \Rightarrow R = \sqrt[3]{ \frac{m}{4 \rho } } \simeq 3 \cdot 10^{-4} м$. (8)
5Коэффициент подвижности (6) с учётом значений радиуса и коэффициента динамической вязкости воздуха при заданной температуре $\eta \simeq 1,8 \cdot 10^{-5} Па \cdot с$ примет значение
$B = \frac{1}{6 \cdot 3,14 \cdot 1,8 \cdot 10^{-5} \cdot 3,2 \cdot 10^{-4} } \simeq 9,2 \cdot 10^{6} с/кг$ (9)
Подставим далее значения $B, T$ и $\Delta t = 1 с$ в уравнение (7)
$\sqrt{ \langle \Delta x^{2} \rangle } = \sqrt{ 2 \cdot 1,4 \cdot 10^{-23} \cdot 293 \cdot 9,2 \cdot 10^{6} \cdot 1 } \simeq 2,75 \cdot 10^{-7} м$. (10)
Определите среднеквадратичное отклонение математического маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением грузика. Температура воздуха $t = 20^{ \circ} С$. Масса грузика равна $m = 1 \cdot 10^{-6} кг$, длина маятника $l = 10 м$.
Решение:
Приближённо задачу можно решить, полагая грузик маятника материальной частицей, обладающей одной степенью свободы, т.е. $i = 1$. Энергия теплового движения, приходящаяся на одну степень свободы, и средняя квадратичная скорость определятся как
$\langle \epsilon \rangle = \frac{1}{2}k_{B}T, \langle v_{c} \rangle = \sqrt{ \frac{k_{B}T }{m} } \simeq 6,4 \cdot 10^{-8} м/с$. (1)
Определим далее период малых колебаний маятника $T$
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } = 6,28 с$. (2)
Таким образом, грузик маятника может двигаться в одном направлении в течение времени $\frac{T}{4} = 1,57 с$. За 1 с грузик маятника отклонится от положения равновесия на расстояние
$\langle \Delta x_{c} \rangle \simeq 6,4 \cdot 10^{-8} м$. (3)
Максимально возможное среднеквадратичное отклонение определится из условия
$\langle \Delta x_{c} \rangle_{max} = \langle v_{c} \rangle \frac{T}{4} \simeq 1 \cdot 10^{-7} м$. (4)
Задачу можно решить, используя модель броуновского движения
$\frac{d \langle x^{2} \rangle }{dt} = 2k_{B}TB \left ( 1 - e^{ - \frac{t}{mB} } \right )$, (5)
где
$B = \frac{1}{6 \pi \eta R}$, (3)
подвижность частицы, определяемая законом Стокса, через радиус частицы $R$ и коэффициент динамической вязкости $\eta$. Для промежутков времени $\Delta t \gg 10^{-5} с$ уравнение (5) упростится
$\langle \Delta x^{2} \rangle = 2k_{B}TB \Delta t$. (7)
Радиус грузика оценим в предположении, что он изготовлен из стали с плотностью $\rho = 7800 кг/м^{3}$
$m = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \Rightarrow R = \sqrt[3]{ \frac{m}{4 \rho } } \simeq 3 \cdot 10^{-4} м$. (8)
5Коэффициент подвижности (6) с учётом значений радиуса и коэффициента динамической вязкости воздуха при заданной температуре $\eta \simeq 1,8 \cdot 10^{-5} Па \cdot с$ примет значение
$B = \frac{1}{6 \cdot 3,14 \cdot 1,8 \cdot 10^{-5} \cdot 3,2 \cdot 10^{-4} } \simeq 9,2 \cdot 10^{6} с/кг$ (9)
Подставим далее значения $B, T$ и $\Delta t = 1 с$ в уравнение (7)
$\sqrt{ \langle \Delta x^{2} \rangle } = \sqrt{ 2 \cdot 1,4 \cdot 10^{-23} \cdot 293 \cdot 9,2 \cdot 10^{6} \cdot 1 } \simeq 2,75 \cdot 10^{-7} м$. (10)
