Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1466
2016-11-25 
Воздушный шарик радиуса $R$ и массой $m$ при слабом ударе о стенку деформируется, как показано на рисунке. При этом деформация шарика $x \ll R$. Считая избыточное давление $\Delta P$ воздуха в шарике ($\Delta P = P - P_{0}$, где $P$ — давление внутри шарика, $P_{0}$ — внешнее давление) постоянным и пренебрегая упругостью оболочки, найти время соударения со стенкой.
Решение:
Из теоремы Пифагора следует:
$r^{2} = R^{2} - (R-x)^{2}$, (1)
где $r$ — радиус круга оболочки шарика, соприкасающийся со стенкой. Учитывая, что $x \ll R$, для площади круга имеем:
$S = \pi r^{2} = 2 \pi Rx$. (2)
Сила, действующая на шарик со стороны стенки,
$F = \Delta P \cdot S$, (3)
Запишем закон Ньютона для шарика в проекции на ось $x$:
$- F = mx^{ \prime \prime}$. (4)
Из (2—4) получаем
$x^{ \prime \prime} + \frac{2 \pi R \Delta P}{m} x = 0$ уравнение для гармонических колебаний с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{2 \pi R \Delta P}}$.
Искомое время $\tau = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{2 \pi R \Delta P}}$.
Примечание: для доказательства соотношения (3) необходимо воспользоваться законом Ньютона для фрагмента оболочки шарика, соприкасающегося со стенкой:
$F - \Delta PS = 0$,
где учтено, что ускорение фрагмента пленки равно нулю и пренебрегается упругостью оболочки.
Воздушный шарик радиуса $R$ и массой $m$ при слабом ударе о стенку деформируется, как показано на рисунке. При этом деформация шарика $x \ll R$. Считая избыточное давление $\Delta P$ воздуха в шарике ($\Delta P = P - P_{0}$, где $P$ — давление внутри шарика, $P_{0}$ — внешнее давление) постоянным и пренебрегая упругостью оболочки, найти время соударения со стенкой.
Решение:
Из теоремы Пифагора следует:
$r^{2} = R^{2} - (R-x)^{2}$, (1)
где $r$ — радиус круга оболочки шарика, соприкасающийся со стенкой. Учитывая, что $x \ll R$, для площади круга имеем:
$S = \pi r^{2} = 2 \pi Rx$. (2)
Сила, действующая на шарик со стороны стенки,
$F = \Delta P \cdot S$, (3)
Запишем закон Ньютона для шарика в проекции на ось $x$:
$- F = mx^{ \prime \prime}$. (4)
Из (2—4) получаем
$x^{ \prime \prime} + \frac{2 \pi R \Delta P}{m} x = 0$ уравнение для гармонических колебаний с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{2 \pi R \Delta P}}$.
Искомое время $\tau = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{2 \pi R \Delta P}}$.
Примечание: для доказательства соотношения (3) необходимо воспользоваться законом Ньютона для фрагмента оболочки шарика, соприкасающегося со стенкой:
$F - \Delta PS = 0$,
где учтено, что ускорение фрагмента пленки равно нулю и пренебрегается упругостью оболочки.
